Производная функции, заданной неявно

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку данный курс носит практическую направленность, мы стараемся избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной Производная функции, заданной неявно - student2.ru – это правило, по которому каждому значению независимой переменной Производная функции, заданной неявно - student2.ru соответствует одно и только одно значение функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Переменная Производная функции, заданной неявно - student2.ruназывается независимой переменнойили аргументом.

Переменная Производная функции, заданной неявно - student2.ru называется зависимой переменной или функцией.

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция y в явном видевыражена через независимую переменную x.

Рассмотрим другую функцию: Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Здесь переменные x и y расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможновыразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство Производная функции, заданной неявно - student2.ru и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить: Производная функции, заданной неявно - student2.ru , – пример неявной функции.

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует(однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права неявной функции соблюдены.

На этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму (без камня перед тремя дорожками).

Пример 1

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

2) Используем правила линейности производной:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

3) Проводим непосредственное дифференцирование.

Как дифференцировать Производная функции, заданной неявно - student2.ru и Производная функции, заданной неявно - student2.ru - совершенно понятно. Но что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

Производная функции, заданной неявно - student2.ru – просто до безобразия, это производная от функции, равная её производной: Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Как дифференцировать Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, y – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Произведение дифференцируем по обычному правилу Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Обратите внимание, что Производная функции, заданной неявно - student2.ru – это тоже сложная функция, и любой «игрек с наворотами» – это сложная функция:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Если есть скобки, то раскрываем их:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

5) В левой части выносим производную Производная функции, заданной неявно - student2.ru за скобки:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

6) По правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию Производная функции, заданной неявно - student2.ru можно переписать так: Производная функции, заданной неявно - student2.ru . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму.

На самом деле фразы: «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» - более общая. Например (до преобразований), Производная функции, заданной неявно - student2.ru – это функция, заданная в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под выражением «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание!Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

И рассматриваем функцию двух переменных:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Тогда нашу производную можно найти по формуле Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Найдем частные производные:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Таким образом:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Навешиваем штрихи на обе части:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Используем правила линейности:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Находим производные:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Раскрываем все скобки:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Переносим все слагаемые с Производная функции, заданной неявно - student2.ru в левую часть, остальные – в правую часть:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

В левой части выносим Производная функции, заданной неявно - student2.ru за скобку:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Окончательный ответ:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 3

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Полное решение и образец оформления в конце урока.

Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.

Пример 4

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru и правило дифференцирования частного Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Раскрываем скобки:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Умножаем каждое слагаемое каждой части на Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Если подробно, то выглядеть это будет так:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например,

Производная функции, заданной неявно - student2.ru , то операцию нужно было бы повторить – умножить

каждое слагаемое каждой части на Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть «игрек штрих» собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

В левой части выносим Производная функции, заданной неявно - student2.ru за скобку:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Окончательный ответ:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Пример 5

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.

Наши рекомендации