Дифференцирование матриц

Пусть A(t) – матрица (m x n), элементы которой a_ij есть дифференцируемые функции скалярной переменной t. Производная от матрицы A(t) по переменной t есть матрица, элементами которой являются :

.

Производная от суммыдвух матриц равна сумме производных от этих матриц:

.

Производная от произведенияматриц:

.

При этом должен сохраняться первоначальный порядок следования сомножителей произведения.

.

Интегрирование матриц

Интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интегралов от элементов исходной матрицы. Следовательно,

Для обозначения интеграла от матрицы обычно используется символ Q=∫ ( )dt. Если оператор Q снабжен индексами (сверху t, а снизу t₀), то они указывают нижний и верхний пределы интегрирования:

Пример 4. Найти

Определители

Определители существуют только для квадратных матриц.

В общем случае используется разложение Лапласа определителя n порядка по элементам строки (столбца) на сумму n определителей (n–1) порядка.

Например, для n = 3:

Свойства определителей

1. Определитель равен единице, если матрица А– единичная.

2. Определитель равен нулю, либо если все элементы матрицы равны нулю, либо все элементы строки (или столбца) равны нулю, или равны между собой или пропорциональны элементы произвольных двух строк (или двух столбцов).

3. Величина определителя остается неизменной по модулю при перестановке местами его строк (или столбцов).

4. Знак определителя изменяется на противоположный при замени местами его двух строк (или столбцов).

5. Значение определителя умножается на постоянную k, если все элементы какой-либо его строки (столбца) умножаются на k.

6. Значение определителя не изменяется, если к какой-либо его строке (или столбцу) прибавить умноженные на k соответствующие элементы другой строки (или столбца).

Миноры и алгебраические дополнения

Если в определителе |А| вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся элементы образуют определитель, порядок которого на единицу меньше, чем у |А|, называемый миноромэлемента a_ij.

.

Минор М_ij, взятый со знаком (–1)^i+j называется алгебраическим дополнениемэлемента a_ij.

C_ij = (–1)^i+jM_ij .

Разложение определителя по Лапласу можно представить:

Присоединенная матрица

Присоединенная матрицаобразуется из алгебраических дополнений исходной матрицы А с последующим ее транспонированием:

Обратная матрица

Обратная матрицанаходится как частное от деления присоединенной матрицы Adj(A) на определитель |A|:

.