В идеальном диэлектрике

В природе наблюдается факт существования материального объекта – электромагнитного излучения (электромагнитных волн). Экспериментальные исследования электромагнитных волн выявили ряд свойств этого излучения. Например, электромагнитные волны оказались поперечными волнами (вспомните явление поляризации света); в электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике, электрические и магнитные поля колеблются в фазе; электромагнитная волна обладает импульсом (опыты П.Н. Лебедева) и другие факты. Уравнения Максвелла как фундаментальные постулаты электродинамики согласуются с наблюдаемыми экспериментальными фактами. Отметим также, что разработка электро- и радиотехнические устройства также опирается на следствия из уравнений Максвелла. Соответствие экспериментальных результатов и выводов из уравнений Максвелла является подтверждением того, что эти уравнения адекватно описывают электромагнитные явления в макромире.

Предварительно, перед началом изучения следующих разделов, рекомендуем вспомнить волновое уравнение в струне (глава 1).

3.5.1. Из уравнений Максвелла вытекает существование

электромагнитного излучения (электромагнитной волны).

Данное утверждение можно качественно интерпретировать уравнениями Максвелла в интегральной форме. Например, если в некоторой точке пространства создать переменное электрическое поле ( ), то это порождает переменное магнитное поле H [ = ]. В свою очередь, переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле E (уравнение = ). Этот процесс будет повторяться в пространстве и во времени, т.е. возникнет электромагнитное излучение.

Волновое уравнение электромагнитного излучения непосредственно вытекает из уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Покажем это. В качестве среды вначале возьмем идеальный диэлектрик, т.е. непроводящую (плотность тока j = 0) и нейтральную среду (плотность свободных зарядов r = 0). В этом случае имеем следующую систему уравнений (см. сводную таблицу § 3.4.6):

1) ротор вектора E: [Ñ, E] = - ,

2) ротор вектора H: [Ñ, H] = , (26)

3) дивергенция вектора E: ÑE =0,

4) дивергенция вектораH: ÑH = 0.

Возьмем ротор от первого уравнения системы уравнений (26):

[Ñ [Ñ, E]] = - , (27)

Операция, выраженная оператором набла Ñ = + + – это операция дифференцирования по координатам. В правой части уравнения вначале осуществляется дифференцирование по времени, затем по координатам. Изменим порядок дифференцирования, имеем:

= .

Но [Ñ, H]= [второе уравнение исходной системы (26)], поэтому (27) запишется в виде: [Ñ [Ñ, E]] = (28)

В левой части уравнения (28) стоит двойное векторное произведение. Напомним правило двойного векторного произведения на примере векторов a, b, c:

[а,[b, c]] = b(a×c) -c(a×b).

Вначале выполняются скалярные произведения стоящих в скобах векторов (a×cи a×b), и затем векторыb и c умножаются на соответствующие результаты скалярного произведения.

Итак, имеем: [Ñ [Ñ, E]] = Ñ (ÑE) -ѲE,

где оператор Ѳ = ( + + ) ( + + ) = + +

называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа для краткости часто обозначается символом «D», т.е. Ѳ º D: D = + + .

Так как ÑE =0 [третье уравнение в системе уравнений Максвелла (26)], то: [Ñ [Ñ, E]] = -ѲE. (29)

Подставив (29) в (28), получим:

ѲE = или ѲE = . (30)

Взяв теперь ротор от второго уравнения системы уравнений (26), и произведя аналогичные преобразования, получим уравнение для вектора напряженности магнитного поля:

ѲH = или ѲH = . (31)

Уравнения (30) и (31) - волновые уравнения, описывающие распространение электромагнитной волны в диэлектрике. Волновые уравнения получены с использованием системы уравнений Максвелла (26). Следовательно, характеристики электромагнитной волны – векторы E иH - взаимосвязаны между собой и взаимообусловливают друг друга.

Электромагнитное поле находится в состоянии движения и распространяется в виде электромагнитной волны с фазовой скоростью c. В уравнениях (30) и (31) величина c = - скорость распространения электромагнитной волны в вакууме (скорость света в вакууме) – фазовая скорость волны. В среде фазовая скорость волны меньше скорости в вакууме: v = ,

где e - электрическая проницаемость среды, m - магнитная проницаемость среды.

Представим уравнения (30) и (31) относительно декартовой системы координат в развернутом виде:

+ + = , (32)

+ + = , (33)

где E = E_xi+ E_yj + E_zk; H = H_xi+ H_yj + H_zk.

Если волновая поверхность электромагнитной волны имеют произвольную форму, то, в общем случае, производные компонентов векторов по координатам в (32) и (33) могут принимать ненулевые значения.

Для анализа свойств электромагнитной волны рассмотрим случай, когда волновая поверхность представляет собой плоскую поверхность. Такая волна является плоской электромагнитной волной.

3.5.2. Волновое уравнение плоской электромагнитной волны в идеальном диэлектрике в отсутствии потерь. Решение волнового уравнения, свойства волны

Волновое уравнение плоской электромагнитной волны. Так как рассматриваемая электромагнитная волна является плоской волной, то, не теряя общности рассуждений, разумно совместить направление распространения волны с какой-либо осью декартовой системы, например, с осью 0Z. В этом случае плоская волновая поверхность будет параллельна координатной плоскости X0Y, а компоненты векторов E и H будут зависеть только от координаты z. Производные компонентов векторовE и H по координатам x и y примут нулевые значения (т.е. все и ).

На рис. 3-32 показаны несколько плоских волновых поверхностей электромагнитной волны. Волна распространяется в направлении оси 0Z; волновые поверхности параллельны координатной плоскости X0Y, а ось 0Z перпендикулярна волновой поверхности. Вектор v – фазовая скорость распространения электромагнитной волны.

Выпишем уравнения Максвелла относительно декартовой системы координат для непроводящей и нейтральной среды (в этих уравнениях i,j,k - орты в направлении осей x, y, z соответственно):

1) ( - )i+ ( - )j+ ( - )k = - ;

2) ( - )i+ ( - )j+ ( - )k= ;

3) = 0;

4) = 0.

Два вектора равны, если равны их компоненты, поэтому, с учетом равенства нулю производных по координатам x и y, получим следующую систему уравнений:

из первого уравнения вытекают соотношения

= , = , 0 = ; (34)

из второго -

= , = , 0 = ; (35)

из третьего - = 0; (36)

из четвертого - = 0. (37)

Из последнего уравнения (34) и уравнения (37) следует, что компонента напряженности магнитного поля не зависит ни от координаты z, ни от времени t, т.е. H_z = const. Аналогично, из последнего уравнения (35) и уравнения (36) следует, что компонента напряженности электрического поля E_z = const, т.к. E_z также не зависит ни от координаты z, ни от времени t. Ситуация, когда H_z = const и E_z = const означает, что на электромагнитную волну накладывается стороннее постоянное однородное магнитное и электрическое поле, а само электромагнитная волна не содержит компонентов H_z и E_z. Можно сказать по-другому: если компоненты электромагнитной волны H_z и E_z не изменяются ни во времени, ни в пространстве, то эти компоненты не существуют.

Условия, когда компоненты электромагнитной волны H_z = 0, E_z = 0означают, что векторы H и Eперпендикулярны оси 0Z и расположены в волновой поверхности, т.е. электромагнитная волна является поперечной волной. Весьма убедительным экспериментальным подтверждением поперечности электромагнитных волн являются, например, опыты по поляризации электромагнитных волн в видимом диапазоне частот - опыты по поляризации света.

Из двух первых уравнения (34) и двух первых уравнения (35) образуются две группы независимых уравнений.

Первая группа - уравнения

= и = (4.38)

связывают между собой компоненты E_y и H_x.

Из первого уравнения (38) следует, что если создать переменное во времени магнитное поле H_x, направленное вдоль оси 0X, то поле H_x порождает переменное электрическое поле E_y, направленное вдоль оси 0Y. В свою очередь, из второго уравнения (38) следует, что переменное электрическое поле E_y, направленное вдоль оси 0Y, порождает переменное магнитное поле H_x, направленное вдоль оси 0X. Этот процесс периодически повторяется. Обратите внимание, в этом случае поля E_x и H_y не возникают. Векторы E и H электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и направлены, соответственно, вдоль осей 0Y и 0X.

Вторая группа - уравнения

= и = (4.39)

связывают между собой компоненты E_x и H_y.

Из первого уравнения (39) следует, что переменное магнитное поле H_y порождает переменное электрическое поле E_x. В свою очередь, из второго уравнения (39) следует, что переменное электрическое поле E_x порождает переменное магнитное поле H_y. Этот процесс периодически повторяется. Поля E_y и H_x в этом случае не возникают. Векторы E и Hвзаимно перпендикулярны и направлены, соответственно, вдоль взаимно осей 0X и 0Y.

Итак, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из независимых групп уравнений – или группу уравнений (4.38), или группу (39). При этом компоненты другой группы будут равны нулю.

Возьмем, например, группу уравнений (39). При этом выборе E_y = 0 и H_x = 0. Продифференцируем первое уравнение (39) по z, и, поменяв последовательность дифференцирования в правой части, получим:

= .

Подставим в это уравнение второе уравнение из (39), получим:

= , или = , или = , (40)

где: c = - скорость электромагнитной волны в вакууме; v = - скорость волны в среде. Уравнение (40) – волновое уравнение для E_x.

Аналогично, продифференцировав второе уравнение (39) по z, и подставив в полученный результат первое уравнение, получим волновое уравнение для H_y: = или = (41)

Разумеется, полученные волновые уравнения (40) и (41) являются частным случаем уравнений (32) и (33), однако случай плоской волны позволяет существенно упростить анализ свойств электромагнитной волны.

Решение волнового уравнения. Свойства электромагнитной волны. Часть свойств электромагнитной волны выяснены выше: электромагнитная волна является поперечной волной; векторыE и Hволны взаимно перпендикулярны. Для обсуждения других свойств волны рассмотрим решение волновых уравнений (40) и (41).

Напомним, решением дифференциальных уравнений вида (40) и (41) является любая непрерывная и дифференцируемая функция вида

F(vt – z),

когда волна распространяется в положительном направлении 0Z, или функция F(vt + z),

когда распространяется в отрицательном направлении 0Z.

Допустим, в источнике электромагнитных волн вектор напряженности электрического поля E совершает гармонические колебания в направлении 0Y и в пространство излучается плоская электромагнитная волна в направлении 0Z. В этом случае в качестве решения (40) и (41) естественно выбрать функцию косинуса (или синуса).

Однако аргумент функции F(vt – z) измеряется в метрах, а аргумент косинуса в радианах, поэтому необходимо умножить (vt – z) на постоянную величину, измеряемую в единице , чтобы аргументом косинуса стал угол. Введем постоянную величину k = рад/м, где l – некоторая длина. Умножим константу k на (vt – z), тогда аргументом функции косинуса становится величина (vt – z), измеряемая в радианах. Итак, в качестве решения (40) выберем функцию

E_x = E₀ cos [ (vt – z) + j]. (42)

Проведем анализ уравнения волны (4.42), для чего раскроем скобки в аргументе (42): E₀ cos [ (vt – z) + j] = E₀ cos ( vt – z + j).

Длина волны, волновое число, период колебаний.

В фиксированный момент времени t на расстоянии между двумя точками пространства, равном l, фаза волны изменяется на полный угол 2p радиан ( z = l = 2p). Из этого следует, что величина l - это минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых E_x колеблются в фазе. Величина l называется длиной волны, а константа k = - волновым числом. Волновое число k в фиксированный момент временипоказывает изменение фаза волны в пространстве на единице длины, поэтому волновое число еще называют фазовым множителем.

За промежуток времени, в течение которого волна проходит расстояние равное длине волны l, электрическое поле E в фиксированной точке пространства совершает одно полное колебание. Этот промежуток времени называется периодом колебаний электрического поля: T = . Приходим к следующим известным соотношениям:

v= = 2pf = w = kv, (43)

где: f = – частота колебаний, которая определяет число колебаний в секунду (измеряется в герцах); w - круговая или циклическая частота, которая определяет изменение фазы колебаний за секунду (измеряется в рад/с).

Воспользовавшись приведенными соотношениями, уравнение волны для электрического поля (42) можно записать в виде

E_x = E₀ cos (wt – kz + j). (44)

Решение волнового уравнения (4.41) для магнитного поля H_y имеет аналогичное содержание:

H_y = H₀ cos (wt – kz + g). (45)

В уравнениях волны (44) и (45) начальные фазы напряженностей E_x и H_y обозначены через j и g. Покажем, что фазы колебаний E_xи H_y в любой момент времени и в каждой точке пространства одинаковы. Из уравнений (44) и (45) следует, что для этого достаточно показать равенство их начальных фаз: j = g.

Равенство фаз колебаний полейE_xи H_y электромагнитной волны в идеальном диэлектрике (синфазное колебание E_xи H_y).

Напомним, под идеальным диэлектриком понимается среда, в которой отсутствуют свободные заряды, и которая, следовательно, не проводит электрический ток.

Уравнения (44) и (45) являются решениями волновых уравнений соответственно (40) и (41), которые, в свою очередь, получены из группы уравнений (39). Подставим (44) и (45) в (39), получим:

k E₀ sin (wt – kz + j) = mm₀H₀w sin(wt – kz + g),

k H₀ sin (wt – kz + g) = ee₀ E₀ w sin(wt – kz + j).

Эти равенства показывают, что, во-первых, фазы колебаний E_xи H_y одинаковые, т.е. (wt – kz + j) = (wt – kz + g), что выполняется при равенстве начальных фаз j = g. Итак, решение волновых уравнений в диэлектрике имеют вид:

E_x = E₀ cos (wt – kz +j), (44^*)

H_y = H₀ cos (wt – kz +j). (45^*)

Во-вторых, должны выполняться соотношения

k E₀ = mm₀H₀w и k H₀ = ee₀ E₀ w.

Перемножив эти уравнения, получим: k ee₀w = k mm₀w . Отсюда следует, что амплитуды векторов E и H связаны между собой соотношением

= . (46)

Это соотношение верно и для других мгновенных значений E и H в идеальном диэлектрике.

Величина измеряется в единицах сопротивления и называется волновом сопротивлением среды Z₀ = = . В частности, волновое сопротивление вакуума

Z₀ = = » 380 Ом (e₀ = , m₀ = ).

На рис. 34 показаны векторы E и H гармонической электромагнитной волны в разных точках среды в некоторый фиксированный момент времени t (волна находится в идеальном диэлектрике). Пространственный профиль векторов E и H гармонической волны образуют синусоиду, которая на рисунке представлена огибающей значений векторов в объеме диэлектрика. С течением времени профиль будет смещаться в направлении оси 0Z со скоростью v = .

Приведем некоторые выводы из ранее изложенного. Научные факты, выявленные в результате экспериментальных исследований явлений электромагнетизма в макромире, теоретически обобщены системой из четырех уравнений Максвелла. В свою очередь, следствия, получаемые из уравнений Максвелла, находятся в согласии с экспериментальными фактами. Часть следствий были рассмотрены выше:

1) из уравнений Максвелла следует существование электромагнитного поля, распространяющегося в виде электромагнитной волны (электромагнитного излучения) с фазовой скоростью v = , где - скорость электромагнитной волны в вакууме;

2) электромагнитная волна – поперечная волна, причем вектора E и H взаимно перпендикулярны и образуют совместно с фазовой скоростью волны v правовинтовую систему (E ® H®v);

3) фазы колебаний E_xи H_y в диэлектрике в любой момент времени в каждой точке пространства одинаковы^([1]) (векторы E и H в каждой точке пространства колеблются в фазе);

4) амплитуды векторов E и H связаны между собой соотношением = ;

5) волновое сопротивление диэлектрика определяется соотношением

Z₀ = = , в вакууме Z = » 380 Ом.

Используя понятие волнового сопротивления, решение волновых уравнений (44^*) и (45^*) можно представить в виде:

E_x = E₀ cos (wt – kz +g), (47)

H_y = cos (wt – kz +g). (48)

В заключение параграфа отметим, что если фазовая скорость v электромагнитной волны направлена произвольно относительно осей координат, то решение волнового уравнения - уравнение волны - определяется всеми координатами. Например, решения волновых уравнений (32) и (33) в случае плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении, образующий с осями координат 0X, 0Y, 0Z углы a, b, h, имеют вид:E(r,t)= E₀ cos (wt – kr+ g),(49)

H(r,t)= H₀ cos (wt – kr+ g), (50)

где: k = n– волновой вектор (k = – волновое число, n – единичный вектор в направлении фазовой скорости волны v); r = xi +yj +zk– радиус-вектор точки волновой поверхности с координатами x, y, z в фиксированный момент времени. Здесь скалярное произведение векторов kи rимеет вид:kr= k_x x + k_y y + k_z z, где: k_x = cosa, k_y = cosb, k_z = cosh. Здесь a - угол между направлением nи осью 0X, b - угол между nи осью 0Y, h - угол между nи осью 0Z.

3.5.3. Дифференциальные уравнения Максвелла в комплексной

форме

1. Представление гармонических процессов в комплексной форме. Мы уже оперировали комплексными величинами. Здесь обратим внимание еще на одну деталь, связанную с комплексным представлением электромагнитных волн.В предыдущем параграфе в качестве решения волнового уравнения выбрана гармоническая (синусоидальная) функция. В этом есть определенный резон. И дело даже не в том, что выбранное простое решение позволяет наглядно воспринимать результат и анализ решения. Большинство сигналов, используемых в акустике, электротехнике и радиотехнике, являются периодическими функциями F(t), которые могут быть разложены по гармоническим функциям в ряд Фурье (при дискретном частотном спектре) или интеграл Фурье (при непрерывном спектре частот). В этой связи, изучение гармонических электромагнитных волн важно как в познавательном плане, так и для практики.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме содержат производные по координатам и времени. В этой связи уравнение гармонической волны удобно представлять в комплексной форме, воспользовавшись формулой Эйлера , где i = . Так как производная от экспоненты равна самой экспоненте, то представление гармонических процессов в комплексной форме существенно упрощает расчеты.

Напомним, операция перехода от вещественной гармонической функции к экспоненциальной комплексной функции проводится следующим образом. Воспользовавшись вещественной функцией x(t) = A₀cos (wt + j),формируется комплексная величина x_к(t):

x_к(t) = A₀cos (wt + j) + A₀ i sin (wt + j).

В соответствии с формулой Эйлера, функцию x_к(t) записывается в виде комплексной экспоненциальной функции

x_к(t) = A₀ или x_к(t) = A₀ .

Величина = A₀ , которая не зависит от времени t, называется комплексной амплитудой.Символ в жаргонном варианте читается: «А с крышкой». Модуль комплексной амплитуды равен вещественной амплитуде A₀, а аргумент - начальной фазе j вещественной функции. Таким образом, комплексная форма гармонической функции запишется в виде

x_к(t) = . (51)

Линейные операции (сложение, дифференцирование, интегрирование и т.п.) над комплексными функциями проводятся раздельно над вещественным и мнимым частями комплексной функции. В результате таких операций вновь получается некоторая комплексная величина. От конечной комплексной функции можно выделить вещественную часть, и, тем самым, записать результат вычислений в виде вещественной синусоидальной функции.

Представим уравнение плоской волны (49) в комплексной форме:

E_к(x, y, z; t) = E₀ или

E_к(x, y, z; t) = (x, y, z) , (52)

где (x, y, z) = E₀ - комплексная векторная амплитуда напряженности электрического поля электромагнитной волны. Комплексная амплитудане зависит от времени t, и является функцией координат точек наблюдения (x, y, z).

В уравнении волны (49) вещественного вектора Eпространственная и временная аргументы входят в функцию косинуса совместно, а в уравнении волны комплексной функции E_к (52) пространственная и временная аргументывходят в раздельно в разные сомножители - (x, y, z) и .

Уравнение волны комплексной векторной функцииH_к(50)имеет аналогичный вид: H_к(x, y, z; t) =(x, y, z) , (53)

где (x, y, z) = H₀ - комплексная векторная амплитуда напряженности магнитного поля электромагнитной волны не зависит от времени t.

2. Уравнения Максвелла в комплексной форме. Подставим в уравнения для роторов электромагнитного поля

[Ñ, E] = - и [Ñ, H] = j + (54)

уравнения волны комплексных векторных функций E_к (52) и H_к (53). Напомним, оператор набла Ñ представляет собой дифференцирование по координатам, следовательно: [Ñ, E_к] = [Ñ,] и [Ñ, H_к] = [Ñ,] . Имеем также: = H_к или = ;

= E_к. или = .

Итак,уравнения Максвелла в комплексной форме для роторов имеют вид: [Ñ, E_к] = - H_ки [Ñ, H_к] = j_к + E_к. (55)

Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд E^* и H^*получается после сокращения на множитель :

[Ñ,] = и [Ñ,] = + ,

где - комплексная амплитуда плотности тока (j_к = ).

Запишем уравнения Максвелла в комплексной форме для дивергенций:

ee₀ ÑE_к = r_к и mm₀ ÑH_к = 0. (56)

3.5.4. Граничные условия