Операции над событиями

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В.

Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого.

Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.

При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна Операции над событиями - student2.ru , при вытаскивании второй карты - Операции над событиями - student2.ru , третьей - Операции над событиями - student2.ru , четвертой - Операции над событиями - student2.ru .

Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна Операции над событиями - student2.ru .

Тогда Операции над событиями - student2.ru

Пример. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна Операции над событиями - student2.ru . Вероятность того, что не выпадет 6 очков - Операции над событиями - student2.ru . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна Операции над событиями - student2.ru .

Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна Операции над событиями - student2.ru .

Пример. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек.

Вероятность выстрела при первом нажатии на курок (событие А) равна Операции над событиями - student2.ru , вероятность осечки - Операции над событиями - student2.ru Вероятность выстрела при втором нажатии на курок зависит от результата первого нажатия.

Так если в первом случае произошел выстрел, то в барабане осталось только 3 патрона, причем они распределены по 5 гнездам, т.к. при втором нажатии на курок напротив ствола не может оказаться гнездо, в котором был патрон при первом нажатии на курок.

Условная вероятность выстрела при второй попытке - Операции над событиями - student2.ru если в первый раз был выстрел, Операции над событиями - student2.ru - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - Операции над событиями - student2.ru , если в первый раз произошел выстрел, Операции над событиями - student2.ru - если в первый раз была осечка.

Рассмотрим вероятности того, что во втором случае произойдет выстрел (событие В) или произойдет осечка (событие Операции над событиями - student2.ru ) при условии, что в первом случае произошел выстрел (событие А) или осечка (событие Операции над событиями - student2.ru ).

Операции над событиями - student2.ru - два выстрела подряд

Операции над событиями - student2.ru - первая осечка, второй выстрел

Операции над событиями - student2.ru - первый выстрел, вторая осечка

Операции над событиями - student2.ru - две осечки подряд

Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице)

Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме Операции над событиями - student2.ru

Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок.

Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - Операции над событиями - student2.ru , Операции над событиями - student2.ru Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив ствола может оказаться то же гнездо, что и в первый раз.

Условная вероятность выстрела при второй попытке - Операции над событиями - student2.ru если в первый раз был выстрел, Операции над событиями - student2.ru - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - Операции над событиями - student2.ru , если в первый раз произошел выстрел, Операции над событиями - student2.ru - если была осечка.

Тогда:

Операции над событиями - student2.ru - два выстрела подряд

Операции над событиями - student2.ru - первая осечка, второй выстрел

Операции над событиями - student2.ru - первый выстрел, вторая осечка

Операции над событиями - student2.ru - две осечки подряд

В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна

Операции над событиями - student2.ru

Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие Операции над событиями - student2.ru , промах второго – событие Операции над событиями - student2.ru .

Операции над событиями - student2.ru

Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

Операции над событиями - student2.ru

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Операции над событиями - student2.ru

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Операции над событиями - student2.ru

Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

Операции над событиями - student2.ru

Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:

Операции над событиями - student2.ru

Пример. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

Обозначим бракованную деталь – событие А, не бракованную – событие Операции над событиями - student2.ru .

Операции над событиями - student2.ru

Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей.

Операции над событиями - student2.ru

Операции над событиями - student2.ru

Пример. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.

а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна

Операции над событиями - student2.ru

Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках.

Операции над событиями - student2.ru .

б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще.

Наши рекомендации