Параболическая регрессия

Рассмотрим построение уравнения регрессии вида .

Составление системы нормальных уравнений для нахождения коэффициентов параболической регрессии осуществляется аналогично составлению нормальных уравнений линейной регрессии.

После преобразований получаем:

.

Решая систему нормальных уравнений, получают коэффициенты уравнения регрессии.

Далее рассчитывают остаточную дисперсию .

,

где , а .

Уравнение второй степени значимо лучше описывает экспериментальные данные, чем уравнение первой степени, если уменьшение дисперсии по сравнению с дисперсией линейной регрессии является значимым (неслучайным). Значимость различия между и оценивается критерием Фишера:

,

где число берется по справочным статистическим таблицам (приложение 1) соответственно степеням свободы и выбранного уровня значимости .

Порядок выполнения расчетной работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом, изложенным в методических указаниях либо в дополнительной литературе.

2. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии . Для этого необходимо вычислить суммы . Удобно сразу вычислить суммы , которые пригодятся для расчета коэффициентов параболического уравнения.

3. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению .

4. Вычислить общую и остаточную дисперсии , , а также критерий Фишера .

5. Рассчитать коэффициенты параболического уравнения регрессии . Учитывая сложность решения системы нормальных уравнений, рекомендуется записать систему нормальных уравнений в матричной форме:

,

где – матрица, элементами которой являются коэффициенты системы нормальных уравнений;

– вектор, элементами которого являются неизвестные коэффициенты;

– матрица правых частей системы уравнений.

6. Далее решить эту систему линейных уравнений в среде MathCad. Для этого воспользоваться стандартной функцией для решения системы линейных уравнений .

7. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению .

8. Вычислить остаточную дисперсию , а также критерий Фишера .

9. Сделать выводы.

10. Построить графики уравнений регрессии и исходных данных.

11. Оформить расчетную работу.

Пример расчета.

По экспериментальным данным зависимости плотности водяного пара от температуры получить уравнения регрессии вида и . Провести статистический анализ и сделать вывод о лучшей эмпирической зависимости.

	0,0512	0,0687	0,081	0,1546	0,2516	0,3943	0,5977	0,8795

Обработка экспериментальных данных проведена в соответствии с рекомендациями к работе. Расчеты для определения параметров линейного уравнения приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Нахождение параметров линейной зависимости вида
Плотность водяного пара на линии насыщения
№	ti,°C	, ом	ti2		расч.
		0,0512		2,05	-0,0403	-0,0915	0,0084	0,0669
		0,0687		3,16	0,0248	-0,0439	0,0019	0,0582
		0,0811		4,22	0,0899	0,0089	0,0001	0,0523
		0,1546		9,9	0,2202	0,06565	0,0043	0,0241
		0,2516		19,12	0,3505	0,09894	0,0098	0,0034
		0,3943		34,70	0,4808	0,08654	0,0075	0,0071
		0,5977		59,77	0,6111	0,01344	0,0002	0,0829
		0,8795		98,50	0,7414	-0,13807	0,0191	0,3245
сумма		2,4786		231,41			0,0512	0,6194
среднее	72,25	0,3098	5822,5	28,93
b0=	-0,4747					D1ост2=	0,0085
b1=	0,0109					Dy2=	0,0885
						F=	10,368
FT=3,87 F>FT модель адекватна

.

Для определения параметров параболической регрессии вначале были определены элементы матрицы коэффициентов и матрицы правых частей системы нормальных уравнений. Затем расчет коэффициентов выполнен в среде MathCad:

Данные расчетов приведены в таблице 2.

Обозначения в таблице 2:

.

Выводы

Параболическое уравнение значимо лучше описывает экспериментальные данные зависимости плотности пара от температуры, так как расчетное значение критерия Фишера значительно превышает табличное равное 4,39. Следовательно, включение квадратичного члена в полиномиальное уравнение имеет смысл.

Полученные результаты представлены в графическом виде (рис.3).

Рисунок 3 – Графическая интерпретация результатов расчета.

Пунктирная линия – уравнение линейной регрессии; сплошная линия – параболической регрессии, точки на графике – экспериментальные значения.

Таблица 2. – Нахождение параметров зависимости вида y(t)=a0+a1∙x+a2∙x2	Плотность водяного пара на линии насыщения ρ= a0+a1∙t+a2∙t2	(ρi–ρср)2	0,0669	0,0582	0,0523	0,0241	0,0034	0,0071	0,0829	0,03245	0,6194
(Δρ)2	0,0001	0,0000	0,0000	0,0002	0,0000	0,0002	0,0002	0,0002	0,0010		0,0085	0,0002	0,0885	42,5
∆ρi=ρ(ti)расч–ρi	0,01194	–0,00446	–0,00377	–0,01524	–0,00235	0,01270	0,011489	–0,01348			D12ост=	D22ост=	D12y=	F=
ρ(ti)расч.	0,0631	0,0642	0,0773	0,1394-	0,2493	0,4070	0,6126	0,8660	2,4788
ti2ρi	81,84	145,33	219,21	633,24	1453,2	3053,4	5977,00	11032,45	22595,77
ti4
ti 3
tiρi	2,05	3,16	4,22	9,89	19,12	34,70	59,77	98,50	231,41
ti2
ρ, ом	0,0512	0,0687	0,0811	0,1546	0,2516	0,3943	0,5977	0,8795	2,4786	0,3098
ti,°C											0,36129	–0,0141	1,6613E-04
№	1	2	3	4	5	6	7	8	сумма	среднее	a0=	a1=	a2=

Приложение 1

Таблица распределения Фишера при q = 0,05

f2										—
f1
	161,40	199,50	215,70	224,60	230,20	234,00	238,90	243,90	249,00	254,30
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,76	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,24	3,07	2,90	2,71
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,82	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,52
	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,02	1,88	1,61	1,25