Теплоотдача (конвективный теплообмен)

4.2.1. Определение исходных понятий

Обмен внутренней энергией между поверхностью твердого тела и жидкостью посредством теплопередачи в теплотехнике называется теплоотдачей или конвективным теплообменом. Термин «конвективный теплообмен» подчеркивает, что процесс переноса тепла здесь осуществляется одновременно не только теплопроводностью, но и конвекцией. Теплопроводность обусловливается градиентом температуры между слоями жидкости. Конвективные потоки макроскопических элементов жидкости (газа) возникают вследствие различия в плотности вещества разных элементов, находящихся при разной локальной температуре. Конвекция, обусловленная разницей в плотности макроскопических элементов жидкости, называют естественной конвекцией. В жидкости можно реализовать также и вынужденную конвекцию с помощью внешних возбудителей, например, перемешиванием жидкости (газа).

Теплоотдача зависит и от характера движения жидкости – ламинарного (слоистого) или турбулентного (вихревого). Напомним, критерий перехода ламинарного течения в турбулентное оценивается безразмерным числом Рейнольдса Re = , где r - плотность жидкости, h - вязкость жидкости, v – средняя скорость потока жидкости, l – характерные размеры канала (например, диаметр трубы). При больших числах Рейнольдса наблюдается турбулентное течение. Экспериментально выявлено, что критическое значение числа Рейнольдса, когда в круглой трубе происходит переход от ламинарного течения в турбулентное, примерно2×10³. Характер течения жидкости (газа) в трубах разного сечения будет одинаков, если каждому сечению соответствует одно и то же значение числа Re.

При любом виде течения (турбулентном или ламинарном) скорость жидкости в тонком слое у стенки канала равна нулю. Этот слой обычно называют вязким подслоем. На рис. 4-6 приведен график изменения температуры в жидкости при турбулентном течении. Температура в основном изменяется по толщине вязкого слоя, а в турбулентном потоке изменение температуры незначительное.

Теплопередача в вязком подслое осуществляется теплопроводностью, термическое сопротивление которого представляет собой малую величину (см. формулу 7^*). При ламинарном течении теплопередача в поперечном сечении канала трубы также осуществляется практически только за счет теплопроводности. При турбулентном течении вдали от стенки теплоотдача в объеме жидкости происходит в основном вследствие перемешивания элементов жидкости и температура в турбулентном слое по сечению трубы изменяется незначительно.

Явление теплоотдачи определяется тепловыми и гидродинамическими процессами. Эти процессы описываются соответствующими дифференциальными уравнениями: уравнением теплоотдачи, уравнением теплопроводности, уравнением динамики течения жидкости (газа), уравнением непрерывности. Рассмотрим эти уравнения.

4.2.2. Уравнение теплоотдачи

Интенсивность теплоотдачи (конвективного теплообмена) с поверхности стенки площадью dS за время t описывается эмпирической формулой Ньютона-Рихмана

dQ = a (T_ст - T_ж) t dS,

где: T_ст , T_ж - температура стенки и жидкости соответственно; dS - элементарная площадка стенки; a - коэффициент теплоотдачи. Коэффициент теплоотдачи имеет смысл тепла, передаваемого в жидкость за единицу времени единицей поверхности при разности температур в один кельвин (один градус ⁰С).

Теплопередача осуществляется через вязкий подслой толщиной l, для которой справедлив закон Фурье

dQ= - l t dS ,

где - градиент температуры в вязком подслое.

Сравнивая законы Ньютона-Рихмана и Фурье, получим:

a = - . (23)

Уравнение (23) называется уравнение теплоотдачи. Уравнение теплоотдачи позволяет по известному температурному полю определить коэффициент теплоотдачи. Заметим, в технических расчетах процесса теплоотдачи именно коэффициент теплоотдачи и представляет наибольший интерес.

4.2.3. Уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа

Выделим в потоке жидкости элементарный кубик с ребрами dx, dy, dz (рис. 4-7) и определим поток тепла через грани этого элементарного кубика.

Пренебрежем изменением давления p и будем считать, что параметры жидкости – коэффициент теплопроводности l, плотность r и удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении с_р – постоянные константы. Из первого начала термодинамики следует, что при p = const подведенная теплота равна приращению энтальпии в выделенный объем жидкости:

dQ = dU + pdV = d(U + pV) = dH

Здесь оператор d указывает, что теплота является одной из функций процесса переноса внутренней энергии (наряду с работой dA = pdV): элементарная порция подведенной теплоты dQ в общем случае не является полным дифференциалом. Однако так как энтальпия (H = U + pV) как функция состояния является полным дифференциалом, то припостоянном давлении подведенная элементарная порция тепла dQ формально становится полным дифференциалом, т.е. можно формально записать: dQ = dQ.

Поток тепла через грани кубика обусловлен градиентом температуры на противоположных гранях, находящихся в перпендикулярном направлении на расстоянии dx, dy и dz соответственно. Если в направлении x на левой грани (см. рис. 4-7) температура T, то на противоположной грани на расстоянии dx температура равна (T + dx), где – соответствующий градиент температуры. Аналогично по направлениям y и z.

За время dt в направлении оси x количество тепла, проходящее через левую грань, равно (закон Фурье)

Q_x1 = , где dS = dx dy – площадь грани,

а через правую грань Q_x2 = .

Имеем: dQ_x = Q_x1 - Q_x2 = .

Аналогично по осям y и z:

dQ_y = , dQ_z = .

За счет подвода тепла наблюдаем приращение энтальпии жидкости за время dt определится уравнением

dQ = dH = dQ_x + dQ_y + dQ_z = . (24)

С другой стороны подведенную теплоту dQ (изменение энтальпии dH) можно представить также уравнением

dQ =c_pr dx dy dz, (25)

где dm = r dx dy dz – масса рассматриваемого элементарного объема, c_p – теплоемкость жидкости при постоянном давлении, – изменение температуры рассматриваемого объема за время dt вследствие притока тепла.

Здесь имеет смысл субстанциальной производной. Дело в том, что изменение температуры в текущей жидкости определяется двумя факторами: 1) изменением температуры во времени в рассматриваемом объеме жидкости; 2) изменением температуры вследствие перемещения этого объема от одной точки пространства к другой:

= + + + .

Здесь - локальное изменение температуры во времени (изменение температуры в данной точке пространства). Величина

+ + = + + ,

представляет собой конвективное изменение температуры, обусловленное перемещением элементов текущей жидкости (v_x, v_y, v_z – проекции скорости элементов жидкости). Таким образом, температурное поле в движущейся жидкости зависит и от распределения скоростей элементов жидкости.

Сравнивая (24) и (25) получим уравнение

c_pr dx dy dz = или

= . (26)

Уравнение (26) есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа, где постоянная жидкости a = называется коэффициентом температуропроводности. Из уравнения Фурье-Кирхгофа следует, что коэффициент температуропроводности a характеризует скорость изменения температурного поля в среде. Уравнение (26) можно кратко записать посредством оператора Лапласа Ѳ = + + :

= . (26^*)

Запишем уравнение Фурье-Кирхгофа в развернутом виде

+ + + = . (26^**)

Для твердых тел уравнение Фурье-Кирхгофа пример вид

= ,

так как в твердых телах при наличии переноса тепла наблюдается только локальные изменения температуры, но перенос вещества отсутствует

4.2.4. Уравнение Навье-Стокса (дифференциальное уравнение

Движения жидкости)

Как было уже отмечено, из уравнения Фурье-Кирхгофа следует, что температурное поле зависит от распределения скоростей элементов жидкости (см., напр., уравнение 26^**). Динамика движения произвольного элемента жидкости массой dm описывается вторым законом Ньютона: dma = R, где R – результирующая сила, действующая на элемент.

Выделим в потоке жидкости элемент жидкости массой dm в форме кубика с ребрами dx, dy, dz (рис. 4-8). Жидкость течет по вертикали вниз. Ось 0x совпадает с левой стенкой. Скорость тонкого пристеночного слоя жидкост равна нулю. По мере удаления от стенки скорость v_x возрастает (на рисунке приведена эпюра скоростей жидкости).

На выделенный элемент жидкости действуют: 1) сила тяжести; 2) равнодействующая сил давления по вертикали; 3) равнодействующая сил вязкого трения на боковые поверхности выделенного элемента, и обусловленная градиентом скорости жидкости в направлении оси 0y.

Сила тяжести равна

F_Tх = dm g_x= r dV g_x=r g_xdx dy dz = r g_x dV, (27)

где g_x – проекция ускорения свободного падения на ось 0х, r – плотность жидкости. Будем считать, что жидкость несжимаемая, т.е. r = const.

Равнодействующая сил давления. На верхней грани давление равно p,на нижней – (p + ). Площадь верхнего и нижнего граней dS = dy dz, следовательно, равнодействующая сил давления равна

p dy dz - (p + ) dy dz = - dy dz = - . (28)

Равнодействующая сил вязкого трения. При ламинарном течении жидкости сила вязкого трения возникает только на боковых (левом и правом) гранях выделенного элемента жидкости. Напомним, закон касательной силы вязкого трения на единицу площади контакта (закон Ньютона) имеет вид:

F_t =h , (29)

где h – коэффициент вязкости (или просто – вязкость), единицей вязкости служит паскаль×секунда (Па×с).

Если на левой боковой грани вязкое трение равно F_t , то на правой грани – (F_t + ). Так как скорость жидкости растет слева направо, то сила трения на левой грани площадью dS = dx dz направлена вверх, а на правой той же площади – вниз. Равнодействующая сил трения равна:

(F_t + ) dx dz – F_t dx dz = dy dz = .

Воспользовавшись законом силы вязкого трения (29), получим при h = const:

= h dV . (30)

Если проекция скорости v_x изменяется по всем направлениям, т.е. проекция скорости v_x имеет градиент по всем направлениям, то равнодействующая вязкого трения в направлении оси 0х примет вид:

h + + dV или hѲv_x dV . (31)

Итак, проекция результирующей силы R, действующей на выделенный элемент массой dm и объемом dV, на ось 0х примет вид:

R_x = [r g_x - + h + + ] dV.

С другой стороны

dma_x = r dV = r + + + dV,

т.е. полное изменение скорости определяется: 1) локальной составляющей – изменением скорости во времени в данной точке пространства и 2) изменением в пространстве вследствие течения жидкости – конвективной составляющей + + . Итак:

r dV = r + + + dV.

Теперь можно записать второй закон динамики в развернутом виде:

r + r + + = r g_x - + h + + . (32)

Дифференциальное уравнение (32), описывающее динамику движения вязкой несжимаемой жидкости (r = const), называется уравнением Навье-Стокса. Уравнение Навье-Стокса для проекций на оси 0y и 0z имеют аналогичный вид:

r + r + + = r g_y - + h + + ; (32^*)

r + r + + = r g_z - + h + + . (32^**)

Заметим, уравнение Навье-Стокса справедливо как для ламинарного, так и турбулентного потока жидкости.

4.2.5. Уравнение непрерывности (сплошности)

Выделим в потоке жидкости мысленный неподвижный элементарный кубик с ребрами dx, dy, dz (рис. 4-9) и определим массу жидкости, протекающей через этот кубик за время dt.

В направлении оси 0x через левую грань с площадью dS = dydz втекает за время dt масса жидкости

m_x1 = r v_x dt dy dz,

а через правую грань той же площади вытекает масса

m_x2 = dy dz.

Имеем: dm_x = m_x2 - m_x1 = dx dy dz dt.

Аналогично по остальным осям:

dm_y = m_y2 - m_y1 = dx dy dz dt;

dm_z = m_z2 - m_z1 = dx dy dz dt.

Полное изменение массы жидкости в выделенном объеме dV = dx dy dz равно

dm = dm_x + dm_y + dm_z = + + dV dt.

Ясно, что изменение массы жидкости в выделенном объеме с течением времени может быть обусловлено только изменением плотности жидкости со временем. Следовательно, имеем:

+ + dV dt = - dV (33)

Знак минус в (33) указывает, что если dm > 0 (т.е. из объема dV вытекает большая масса жидкости, чем втекает), то < 0, т.е. плотность жидкости уменьшается. Условие dm < 0 выполняется при > 0, т.е. когда плотность жидкости в выделенном объеме увеличивается.

Уравнение (33) можно записать в виде:

+ + + = 0 (34)

Дифференциальное уравнение (34) и есть уравнение непрерывности (уравнение сплошности) в общем виде. Если плотность жидкости постоянна, (r = const) то уравнение непрерывности (34) примет вид

+ + = 0.

4.2.6. Условия однозначности математического описания

теплоотдачи (краевые условия). Подобие явлений

Процесс теплоотдачи математически описываются рассмотренными выше дифференциальными уравнениями: уравнением теплоотдачи; уравнением теплопроводности; уравнением динамики движения жидкости (газа); уравнением непрерывности. Применение этих уравнений к расчету конкретного процесса теплоотдачи требует введения в структуру уравнений частных особенностей этого процесса. Эти частные особенности называются условиями однозначности или краевыми условиями решения частной задачи. К этим условиям относятся:

1) геометрические условия, которые характеризуют размеры и форму, например, диаметр и длина, гладкость или шероховатость стенок канала протекания жидкости и т.п.;

2) физические константы, характеризующие свойства среды, например, плотность, вязкость, коэффициент теплопроводности и т.д.;

3) граничные условия протекания процесса на границах раздела сред, например, условие нулевой скорости жидкости в пристеночном вязком слое трубы; 4) временные условия, например, стационарность или нестационарность физических констант.

Процесс теплоотдачи – сложный процесс, и аналитическое решение системы дифференциальных уравнений возможно для ограниченного числа весьма упрощенных задач, т.к. особенности реального процесса теплоотдачи зависит от очень большого числа разного рода переменных величин, которые, к тому же, взаимосвязаны. В этой связи эксперимент приобретает решающее значение для анализа и расчета реальных процессов теплопроводности. Сам по себе эксперимент предварительно проводится на модельных объектах. Результаты эксперимента на модели выражают в форме определенного критерия подобия. Примером такого критерия подобия является число Рейнольдса. Эти критериальные оценки далее переносятся на объекты, подобные модельному объекту.

Методология теории подобия основывается на трех утверждениях (трех теоремах подобия):

1) подобные явления имеют одинаковые критерии подобия (Бертран Ж.). В модельном эксперименте измеряют те величины, которые содержатся в критерии;

2) уравнения, описывающие процесс, могут быть представлены в виде зависимости между критериями подобия, определяющими процесс (Федерман А., Букингем Дж.). Результаты опыта представляют в виде критериальных уравнений;

3) подобны те явления, краевые условия которых подобны и для которых критерии подобия, составленных из краевых условий, равны (Кирпичев М.В., Гухман А.А.). Это утверждение устанавливает признак подобия процессов в модельном и рабочем объектах.

Опишем некоторые критерии подобия. Все критерии представляют собой отношения одноименных величин и, следовательно, являются безразмерными величинами.

Число Эйлера Eu – это соотношение между перепадом силы давления в потоке F_p = Dpl² и поступательной силой инерции F_i = ma = rl³ :

Eu = = = .

Число Эйлера характеризует соотношение между перепадом статического давления и динамическим давлением в потоке.

Число Рейнольдса Re определяет связь в потоке между поступательной силой инерции F_i = m и силой вязкого трения Ньютона F_h = h l²:

Re = = .

Число Рейнольдса характеризует гидродинамический режим вынужденного движения жидкости (газа).

Критерии теплового подобия получают из уравнений передачи тепла. Число Фурье Fo – отношение тепла, передаваемого теплопроводностью Q_l = l l²t и поступающим в тело массой m теплом Q = rl³cDT:

Fo = = = , где а – температуропроводность.

Число Фурье характеризует нестационарные процессы распространения тепла, определяемое скоростью изменения температурного поля, размерами тела, температуропроводностью.

Число Нуссельта Nu – отношение тепла передаваемого в процессе теплоотдачи Q_a = aDTl²t к теплу в процессе теплопроводности Q_l = l l²t:

Nu = .

Число Нуссельта характеризует интенсивность теплообмена на границе твердое тело (стенка) – жидкость.

Приложение:формулы и теоремы векторного исчисления

Векторные величины в тексте обозначены прямым полужирным шрифтом, скалярные – курсивом. Например, b – вектор, b – скаляр. Скалярное произведение векторов a и b записывается как(ab). Векторное произведение обозначено заключением сомножителей в квадратные скобки через запятую. Например, векторное произведение векторов a и b записывается как[a, b].

1.Векторная алгебра

1.1. Скалярное произведение векторов abназывается произведение модулей векторов на косинус угла между этими векторами:

ab= ab cos(a^b).

Выражение скалярного произведения через компоненты векторов в декартовой системе координат:

ab= (a_x i + a_y j + a_z k) (b_x i + b_y j + b_z k) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ,

где i, j, k – единичные орты, ii = jj= kk = 1, ij= jk = ki =0.

1.2. Векторное произведение двух векторов[a, b]. В результате векторного произведения векторовaи b получается новый вектор c: [a, b] = c. Модуль результата векторного произведения – модуль вектора с- по определению равен c = ab sin (a^b). В декартовой системе координат векторное произведение имеет вид

[a, b]= [(a_x i + a_y j + a_z k) (b_x i + b_y j + b_z k)] = (a_y b_z - a_z b_y)i + (a_z b_x - a_x b_z)j+ (a_x b_y - a_y b_x)k. Векторное произведение [a, b] можно представить в форме определителя:

[a, b] = .

1.3. Смешанное (скалярно-векторное) произведение трех векторов а[bc]. Результатом такого произведения является скалярная величина:

а[b, c] = a_xb_yc_z -a_xb_zc_y + a_yb_zc_x - a_yb_xc_z + a_zb_xc_y - a_zb_yc_x .

Смешанное произведение допускает циклическую (стековую) перестановку векторов:

а[b, c] =c[а, b] =b[c, а].

По своему геометрическому смыслу смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, bиc.

1.4. Двойное векторное произведение[а,[bc]]:

[а,[b, c]] = b(ac) -c(ab).

Здесь вначале выполняются скалярные произведения, стоящие в скобах (т.е. скалярные произведения acи ab), и только затем вектораb и c умножаются на соответствующие результаты скалярного произведения. Компоненты результата двойного векторного произведения имеют вид:

[а,[bc]]_x = b_x (ac) -c_x (ab),

[а,[bc]]_y = b_y (ac) -c_y (ab),

[а,[bc]]_z = b_z (ac) -c_z (ab).

При проведении циклической перестановки в двойном векторном произведении получаются три разных вектора, сумма которых равна нулю:

[а,[b, c]] +[c,[а, b]] +[b,[c, а]] = 0

2.Векторный анализ

2.1. Векторный оператор набла Ñ (оператор Гамильтона) как символический вектор:

Ñ = + + .

2.2. Градиент скалярной функции (скалярного поля) j(x, y, z) – это вектор, направленный в сторону быстрейшего увеличения j и равный производной по этому направлению. В координатном представлении градиент имеет вид:

gradj = Ñj (в развернутом виде Ñj = + + ).

2.3. Дивергенция некоторого вектора Eв данной точке пространства– это поток вектора Eиз бесконечно малого объема dV, находящегося в этой точке пространства. Объем dV - источник или сток вектора E. Дивергенция вектора E – скалярная величина и определяется скалярным произведением оператора набла на вектор E:

div Eº ÑE. В развернутом виде ÑE = + + .

2.4. Ротор некоторого вектора E –это вектор, порождающий циркуляцию некоторого другого вектора по бесконечно малому контуру. Например, в уравнении Максвелла rot Е= вектор является ротором, который порождает вихревой вектор – напряженность вихревого электрического поля Е. Ротор вектора E – векторная величина и кратко записывается векторным произведением оператора набла на вектор E:

rotEº [Ñ, E].

В развернутом виде [Ñ, E] = i + j + k).

2.5.Некоторые векторные тождества.

1. Ñ(Ñj) = Ѳj = , где j - скалярная функция.

2. [Ñ,(Ñj)] = 0.

3. Ñ[Ñ, E] = 0, где E - векторная функция.

4. [Ñ, [Ñ, E]] = Ñ(ÑE) -ѲE.

5.Ñ(dj) = dÑj + jÑd, где d и j - скалярные функции.

6. Ñ×(jE) = j (Ñ×E) + E×Ñj.

7. [Ñ(jE)] = j [ÑE] + [(Ñj) E].

2.6.Теоремы векторного анализа.

1. Теорема Гаусса-Остроградского. Здесь объем V ограничен замкнутой поверхностью S. Вектор dS в данной точке замкнутой поверхности направлен по внешней нормали к поверхности.

а) = или в форме = ;

б) = или в форме =

2. Теорема Стокса. Здесь замкнутый контур L ограничивает поверхность S, натянутая на контур. Вектор dl (как элемент контура L) по направлению совпадает с положительным обходом контура. Положительный обход контура связан с положительной нормалью к поверхности S правилом правого винта.

а) = или в форме = ;

б) = или в форме = .

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев, И. В. Курс общей физики [Текст]: учеб. пособие. Кн.1., Кн.2., Кн.3, Кн.4 – М.: Наука, 2003.

2. Семенов, Н.А. Техническая электродинамика [Текст]: учеб. пособие для вузов. – М.: Связь, 1973. – 480 с.

3. Матвеев, А.Н. Электричество и магнетизм [Текст]: учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1983. – 463 с.

4. Алешин, Н.П. и др. Ультразвуковой контроль: учебное пособие/ под общ. ред. В.В. Клюева – М.: Изд. Дом «Спектр», 2011. – 224 с., ил.

5. Будадин, О.Н. и др. Тепловой контроль: учебное пособие/ под общ. ред. В.В. Клюева – М.: Изд. Дом «Спектр», 2011. – 176 с., ил.

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН……………………………….7

1.1. Основные положения теории колебаний осцилляторов………………7

1.1.1. Уравнения колебаний гармонического осциллятора…………….7

1.1.2. Методы (способы) представления колебаний……………………10

1.1.3. Динамика гармонического осциллятора…………………………12

1.1.4. Динамика затухающих колебаний………………………………..15

1.1.5. Динамика вынужденных колебаний. Импеданс колебательной

системы……………………………………………………………..17

1.1.6. Импеданс и фазовые соотношения между смещением и

вынуждающей силой. Резонанс смещения……………………….21

1.1.7. Импеданс и фазовые соотношения между скоростью и

вынуждающей силой. Резонанс скорости………………………..23

1.1.8. Устойчивость амплитуды вынужденных колебаний……………24

1.1.9. Добротность осциллятора…………………………………………26

1.1.10. Добротность и резонансная кривая поглощения

осциллятора……………………………………………………….27

1.2. Исходные положения теории гармонических волн…………………….29

1.2.1. Волновое уравнение, описывающее бегущую волну в струне.

Фазовая скорость волны...…………………………………………29

1.2.2. Стоячие волны на струне………………………………………….33

1.2.3. Импеданс среды (на примере струны)…………………………….36

1.2.4. Отражение и прохождение волны на границе двух сред

с различными импедансами. Согласование импедансов………...37

1.2.5. Волновой пакет……………………………………………………..39

1.2.6. Затухание реальных волн в среде…………………………………41

2. АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ…………………………………………………….42

2.1. Волновое уравнение плоской волны в газе и жидкости………………..42

2.2. Скорость акустической волны в твердом теле………………………….46

2.3. Поле плоского излучателя ультразвуковой волны……………………..47

3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ……………………………………………..48

3.1. Электростатическое поле…………………………………………………48

3.1.1. Объекты электростатики…………………………………………..48

3.1.2. Закон Кулона. Напряженность электростатического поля и

интегральная теорема Гаусса……………………………………..49