Корневые оценки переходного процесса

Частотный метод анализа

Общие соотношения

В большинстве случаев вычисление переходной характеристики системы не требуется и в расчетной практике часто используют косвенные методы оценки качества процессов. Известно, что между переходными и частотными характеристиками системы, которые легко вычисляются, а также могут быть получены экспериментальным путем, существует однозначное соответствие. Поэтому качество переходных процессов системы можно исследовать непосредственно по ее частотным характеристикам. С этой целью можно использовать соотношения

Частотный метод анализа позволяет оценить реакцию системы на входное воздействие v(t) при нулевых начальных условиях.

Оценка переходных процессов по вещественной частотной характеристике

Такие оценки оказываются особенно удобны в случае, когда для исследования системы применяются частотные характеристики, а переходный процесс вызван скачкообразным входным воздействием. В результате анализа соотношения (5.10) были получены следующие оценки качества переходного процесса.

Оценка 1. Начальное значение переходной характеристики соответствует конечному значению вещественной частотной характеристики (рис.)

Оценка 2. Установившееся значение переходной характеристики равно начальному значению вещественной частотной характеристики (рис.)

Оценка 3. Если для частотных характеристик двух систем (рис.) справедливо

то аналогичное соотношение будет связывать и переходные характеристики

Оценка 4. В случае, когда частотные характеристики двух систем (рис.) связаны следующим образом:

для переходных характеристик справедливо соотношение

Оценка 5. Если вещественная частотная характеристика R(ω) является положительной невозрастающей функцией, то перерегулирование в системе не будет превышать 18 %.

Таким образом, с помощью приведенных оценок можно приближенно (без вычислений) оценить качество переходного процесса в системе по известной вещественной частотной характеристике. Более подробно частотный способ оценки качества переходного процесса описан в работах В.В. Солодовникова.

Корневой метод анализа

Данный метод анализа, в отличие от частотного, позволяет исследовать реакцию системы на начальные условия и может быть применен в случае как одноканальных, так и многоканальных систем. Рассмотрим одноканальные системы вида

Общая реакция на входной сигнал при ненулевых начальных условиях описывается соотношением

Нас интересует первая составляющая правой части уравнения, которая представляет собой линейную комбинацию мод

где – корни характеристического уравнения системы λ_i

(1,....,n).

Отметим, что каждая мода эквивалентна решению системы первого или второго (если корни комплексно-сопряженные) порядка, а скорость затухания соответствующей экспоненты зависит от численного значения λ_i.

Следовательно, на основе корней характеристического уравнения системы можно оценить граничные составляющие ее переходного процесса: самую быструю моду, самую колебательную и т.п.

Корневые оценки переходного процесса

Рассмотрим характеристическое уравнение системы

с корнями λ_1..λ_n , которые изобразим на комплексной плоскости (рис)

Наиболее удаленные от мнимой оси корни (имеющие max |Re λ_i |) определяют моды, затухающие быстрее всего. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси (с min |Re λ_i |), дают особенно медленно затухающие моды, которые и определяют длительность переходного процесса.

Таким образом, корневой оценкой быстродействия может служить расстояние до мнимой оси от ближайшего к ней корня, т. е.

Приближенно оценить время переходного процесса можно по соотношению

где - относительная статическая ошибка.

В случае, когда статическая ошибка можно пользоваться оценкой

Колебательные процессы в системе будут наблюдаться только в том случае, когда характеристическое уравнение содержит комплексно-сопряженные корни

Склонность системы к колебаниям характеризует оценка

которую называют колебательностью.

Таким образом, чем больше величина µ, тем более колебательный характер будут иметь переходные процессы и наоборот. В пределе при µ->∞полюса системы будут «чисто» мнимыми и в ней будут наблюдаться переходные процессы в виде незатухающих колебаний. В случае, когда µ=0, все корни характеристического уравнения будут вещественными и в системе будут возникать апериодические процессы.

Эмпирическим путем установлена взаимосвязь между колебательностью и перерегулированием в виде соотношения

Отметим, что при μ =1,57, значение перерегулирования σ в системе составит 30 %.

Система первого порядка

Система второго порядка

Система третьего порядка

Установившееся значение для выходной переменной соответствует выражению (5.31) и зависит только от коэффициента усиления k, инерционность процессов зависит от T, а колебательные свойства системы определяются параметрами A и B. Для исследования этой зависимости используется диаграмма И.А. Вышнеградского [6], полученная им в 1876 г. на основе характеристического уравнения

Параметры A и B, которые используются для описания системы третьего порядка, носят название параметров Вышнеградского. Кроме колебательности они определяют устойчивость системы, которая будет иметь место при выполнении условия AB 1, что соответствует критерию Гурвица.

Введем в рассмотрение область значений параметров А и В (рис. 5.26) и нанесем границу устойчивости, AB=1. Разобьем ее на подобласти с различным распределением корней характеристического уравнения (5.36), а, следовательно, и видом процессов.

Так как при всех значениях параметров A и B из области 1 корни характеристического уравнения (5.36) будут вещественными, то и процесс будет иметь апериодический характер (рис. 5.27, а).

Если параметры A и B выбраны в области 2, где ближайшей к мнимой оси будет пара комплексно-сопряженных корней, то им соответствуют колебательные процессы (рис. 5.27, б). В случае, когда вещественный корень располагается ближе к мнимой оси, чем пара комплексно-сопряженных (область 3), колебательная составляющая затухает быстрее и процессы будут иметь вид, представленный на рис. 5.27, в.