Олимпиадные задачи по математике для 2-го курса
Олимпиадные задачи для учащихся второго курса
1. Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: √49 = 4 + √9.
Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.
2. ABC – равнобедренный треугольник с вершиной ےА=27°. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол ےBCD?
3. Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?
4. Про числа a и b известно, что a = b+ 1. Может ли оказаться так, что a4 = b4?
5. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?
Решения.
1. Да, существуют: 64 и 81. Рассмотрим все двузначные числа, являющиеся квадратами целых чисел. Корни из чисел 16, 25 и 36 не могут быть извлечены указанным способом, так как квадратные корни из их последних цифр не являются целыми. Числа 49, 64 и 81 являются решениями. Ответ в задаче не изменится, если не требовать, чтобы корень был целым. 10a + b = a2 + 2a√b + b. Так как в левой части равенства стоит целое число, то и число, стоящее в правой части, должно быть целым. Отсюда следует, что b = 0, 1, 4 или 9, то есть a + √b - целое число.
2. Ответ: 90°.
3. Ответ: имеет смысл идти. Пусть мальчик пошел к следующей остановке и в какой-то момент заметил автобус. Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому за одно и то же время автобус проезжает расстояние в четыре раза больше. Пусть мальчик пробежит х км, тогда автобус проедет 4х км. В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит 2/5 км. Это значит, что, отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад. В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать 2/3 км до момента, когда автобус его догонит. Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км, то есть, если он успел пройти не менее 1/3 км до момента, когда заметил автобус. Так как, 1/3 < 2/5 , то у мальчика всегда будет возможность успеть на автобус и имеет смысл идти.
4. Ответ: да, может. Пусть а = 1/2, b = -1/2, тогда a4 = b4 = 1/16. Можно доказать, что этот пример – единственный (от учащихся это не требуется). Действительно, a4 = b4 то |a| = |b|. Случай a = b невозможен, случай a = -b дает указанный пример.
5. Ответ: 7 клеток.
Олимпиадные задачи по математике для 1-го курса
1.Сколько было брёвен, если 52 распилами получили 72 полена?
2.Сколько существует различных треугольников с целыми сторонами и с периметром 13?
3.Ане втрое больше лет, чем было Пете, когда она была в его нынешнем возрасте. Когда он будет в её нынешнем возрасте, им вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет Ане и Пете вместе?
4.В некотором месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был пятого числа этого месяца?
5.Какое наименьшее число участников может быть в математическом кружке, если мальчиков в нём меньше 50%, но больше 40%?
6.К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.
7.Учитель проводит урок в классе. Возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 22 года больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько в классе учеников?
8.Коллекция марок Боба состоит из трёх альбомов. 1/5 его марок находится в первом альбоме, несколько седьмых — во втором и 303 марки в третьем альбоме. Сколько марок у Боба?
9.Найдите трёхзначное число, равное кубу суммы его цифр.
10.В выпуклом пятиугольнике проведены все его диагонали. Сколько треугольников можно увидеть на таком чертеже?
Олимпиадные задачи по математике для 2-го курса
1.Андрея попросили написать номер квартиры, в которой он живёт. Он ответил, что этот номер выражается числом, которое в 17 раз больше числа, стоящего в разряде единиц номера. Какой же номер этой квартиры?
2.Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма цифр в 11 раз меньше самого числа.
3.В математической олимпиаде участвовали 100 школьников. Было предложено четыре задачи. Первую задачу решили 90 человек, вторую — 80, третью — 70 и четвёртую — 60. При этом никто не решил все задачи. Награду получили те, кто решил и третью, и четвёртую задачи. Сколько школьников было награждено?
4.Ученик выполняет тестовое задание из 20 задач. За каждый правильный ответ ему ставят 8 баллов, за каждый неправильный ответ штрафуют на 5 баллов, если ответа на задачу нет, он получает за неё 0 баллов. В результате ученик получил 13 баллов. Сколько задач он решил правильно?
5.Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число задумал Вася?
6.Миша, Паша, Саша, Яша и Наташа играли в настольный теннис пара на пару, причём каждая пара сыграла с каждой ровно один раз. В результате Саша проиграл 12 игр, а Яша — 6. Сколько игр выиграла Наташа?
7.Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и ещё 16 страниц, во второй день — 0,3 остатка и ещё 20 страниц, а на третий день — 0,75 нового остатка и последние 30 страниц. Сколько страниц в книге?
8.Военный оркестр демонстрировал своё искусство на площади. Сначала музыканты выстроились в квадрат, а затем перестроились в прямоугольник, причём количество шеренг увеличилось на 5. Сколько музыкантов в оркестре?
9.Найдите наибольшее число, все цифры которого различны, а их произведение равно 360.
10.В теннисном турнире принимают участие 10 теннисистов. Сколько существует вариантов разбиения их на пары для игры в первом круге?
11.Двое рабочих могут напилить за день 5 поленниц дров, а наколоть 8 поленниц. Какое наибольшее число поленниц они могут напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?
12.Электронные часы показывают время от 00:00:00 до 23:59:59. Сколько секунд в течение суток на индикаторе горят ровно четыре цифры 3?
13.У некоторого трёхзначного числа переставили две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырёхзначное число, начинающееся с 173. Какой может быть его последняя цифра?
14.Два автомобиля одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу. Через 7 часов они находились на расстоянии 136 километров один от другого. Найдите расстояние между А и В, если один автомобиль может проехать его за 10 часов, а другой — за 12.
15.Вася живёт на 9 этаже дома, в котором на каждом этаже по 6 квартир. Петя живёт на 7 этаже дома, в котором на каждом этаже по 7 квартир. Номера квартир у обоих друзей одинаковые. Каждый из друзей живёт в первом подъезде. Найдите номер квартиры друзей.
Ответы на олимпиадные задачи для 1-го курса
1. 20
2. 5
3. 20
4. четверг
5. 7
6. 2430, 6435
7. 11
8. 3535
9. 512
10. 35
11. 8
12. 1023457896
13. 20
14. 487
Ответы на олимпиадные задачи для 2-го курса
1. 85
2. 198
3. 30
4. 6
5. 12, 14
6. 8
7. 270
8. 400
9. 95421
10. 945
11. 3
12. 105 13. 2 14. 480 км 15. 49
Ответы:
| Исходные 1. 20 2. 5 3. 20 4. четверг 5. 7 6. 2430, 6435 7. 11 8. 3535 9. 512 10. 35 11. 8 12. 1023457896 13. 20 14. 487 | Зачётные 1. 85 2. 198 3. 30 4. 6 5. 12, 14 6. 8 7. 270 8. 400 9. 95421 10. 945 11. 3 12. 105 13. 2 14. 480 км 15. 49 16. 10 мин 17. 36 18. 8 19. 60 20. 5/6 21. 132 22. 12 км/ч |