Матричный метод решения СЛАУ

Систему Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru линейных алгебраических уравнений с Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru неизвестными и определителем основной матрицы А системы, отличным от нуля, можно решать с помощью обратной матрицы.

Пусть дана система уравнений (6.3), основная матрица А которой невырожденная. Система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru ,

где Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru - матрица, обратная к А.

Пример. Решить систему предыдущего пункта матричным методом.

Решение. Данная система в матричной форме имеет вид Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , где Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru . Ее решение Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru .

1) Находим обратную матрицу Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru .

1. Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

2. Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru ,

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru ,

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

3. Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

4. Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

5. Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

2) Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

Ответ: Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru .

Решение и исследование систем линейных
алгебраических уравнений

Полный ответ на вопрос о существовании решения системы Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru линейных уравнений с Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru неизвестными дает следующая теорема Кронекера-Капелли.

Для того чтобы система уравнений (6.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы системы. Если ранги основной и расширенной матриц совпадают с числом неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru основной и расширенной матриц меньше числа неизвестных Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , то система (6.1) имеет бесконечное множество решений.

В последнем случае Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru неизвестных назовем базисным, а Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru - свободными. Свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru неизвестных определяются уже единственным образом.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Метод Гаусса состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы ее расширенная матрица оказалась трапециевидной (ступенчатой). После этого уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Поясним идею метода Гаусса на примерах.

Пример. Решить систему Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru .

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

Если не учитывать последний столбец, найдем ранг основной матрицы Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru ; учитывая последней столбец, найдем ранг расширенной матрицы Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru . Число неизвестных тоже равно 3. Система совместна и имеет единственное решение. Полученной матрице соответствует эквивалентная система:

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

Далее порядок действий очевиден. Из последнего уравнения Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru ; подставляя это значение во второе уравнение, мы получаем Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru . И наконец, из первого уравнения находим Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru .

Замечания. При переходе от первой матрицы ко второй в качестве рабочей строки бралась первая, которая умножалась соответственно на 2 и (-1) и складывалась со второй и третьей строками. В результате мы получили нули в первом столбце. При переходе от второй матрицы к третьей в качестве рабочей строки бралась вторая, которая умножалась на (-2) и складывалась с третьей строкой.

Пример. Исследовать систему Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru .

Решение.

Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

Так как Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , то система несовместна.

Пример. Решить систему Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru .

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

Так как Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , то система совместна. Она имеет бесчисленное множество решений, потому что ранг матрицы меньше числа неизвестных. Восстановим систему по последней матрице:

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru

Базисными неизвестными являются Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru и Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru , переменная Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru - свободной. Обратной подстановкой найдем Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru и Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru из системы:

Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru ,

где Матричный метод решения СЛАУ - student2.ru - любое действительное число.

Наши рекомендации