Появление зеркальных частей

Сейсмический сигнал представляет собой непрерывную временную функцию. В цифровой записи непрерывный (аналоговый) сейсмический сигнал выбирается с фиксированным шагом во времени, который называется шагом квантования или частотой квантования. Как правило, для большинства сейсмических работ значения шага квантования изменяются от 1 до 4мс. Высокоразрешающие работы требуют уменьшения шага квантования до 0.25мс. На рис.1-5 показан непрерывный во времени сейсмический сигнал. Дискретные выборки, которые могут быть действительно зарегистрированы, обозначены точками. Дискретная функция называется временным рядом (временной последовательностью). Нижняя кривая на рис.1-5 показывает попытку восстановления первоначального непрерывного сигнала, представленного на этом рисунке вверху. Отметим, что восстановленный сигнал теряет детали, имеющиеся в первоначальном аналоговом сигнале. Эти детали соответствуют высокочастотным компонентам, которые были потеряны при сравнении. Чем меньше шаг квантования, тем точнее восстановленный сигнал будет представлять первоначальный сигнал. При крайнем случае нулевого шага квантования непрерывный сигнал будет представлен точно.

Есть ли это мера восстановимой полосы пропускания частот оцифрованных данных? На рис.1-6 (верхнее изображение) показана временная последовательность (например, сейсмическая трасса) с 2-миллисекундным шагом квантования и соответствующим амплитудным спектром. В общем случае, при данном шаге квантования Dt, максимальная частота, которая может быть восстановлена, равна 1/(2Dt); она называется частотой Найквиста. Для данного i?eia?a Dt=2мс. Следовательно, частота Найквиста равна 250Гц. Первоначальная временна последовательность была выбрана повторно с шагом квантования 4 и 8мс. Соответствующие частоты Найквиста ?aaia соответственно 125 и 62.5Гц. На рис.1-6 можно также видеть последовательности (восстановленные с шагом 2мс для целей построения) выбранные с шагом 4 и 8мс и их амплитудные спектры. Обратите внимание, что чем больше шаг квантования, тем более сглаженной получается последовательность. Сглаженность является результатом потери высоких частот, как видно на амплитудных спектрах. Частотные составляющие от 125 до 250мс, присутствующими на временной последовательности с 2-миллисекундным шагом дискретизации, отсутствуют на последовательности, где шаг дискретизации равен 4мс. Аналогично, частотные компоненты от 62.5 до 250Гц отсутствуют на временной последовательности, выбранной с шагом 8мс. Можно ли восстановить эти частоты? Нет. После того, как непрерывный сигнал дискретизирован, максимальной частотой, которая может быть восстановлена, является частота Найквиста. Может показаться, что когда временная последовательность, выбранная с шагом 4 или 8мс, интерполируется обратно в 2-миллисекундный шаг, эти высокие частоты должны восстановиться. Как утверждалось выше, временные последовательности на рис.1-6 с 4 и 8-миллисекундными шагами квантования были восстановлены

Рис.1-3 Информацию на рис.1-2 можно в уплотненном виде амплитудного и фазового спектров. Каждая точка кривой амплитудного спектра соответствует максимальной амплитуде синусоиды с этой частотой (см. трассу на рис.1-2). Обратите внимание на эквивалентность двух пиков на амплитудном спектре двум высокочастотным зонам на рис.1-2. Каждая точка фазового спектра соответствует временной задержке пика или впадины синусоиды на этой частоте относительно марки времени t=0. Отметим эквивалентность фазовой характеристики с трендом пика при переходе от трассы к трассе на рис.1-4.

путем интерполяции к 2-миллисекундному шагу, чтобы получить такое же количество выборок, что и первоначальная последовательность для построения в том же масштабе. Интерполяция не восстанавливает частоты, потерянные при квантовании; она только формирует дополнительные выборки.

Важно решить, с каким шагом квантовать непрерывный сигнал в поле. Если сигнал, поступающий из разреза, имеет частоту, например, до 150 Гц, шаг квантования 4мс обуславливает потерю полосы частот от 125 до 150Гц.

Рассмотрим синусоиду на рис.1-7. Этот сигнал выбран повторно с шагом 4 и 8мс. Все три амплитуды спектра показывают наличие одной и той же частоты – 25Гц. С сигналом ничего не произошло после увеличения шага дискретизации. Исследуем более высокочастотную синусоиду (75Гц) на рис.1-8. Она выглядит одинаково при обоих шагах дискретизации 2 и 4мс. Однако, при квантовании с 8-миллисекундным шагом сигнал изменяется и выглядит как низкочастотная синусоида. Как видно на амплитудном спектре, сигнал с измененным шагом квантования имеет частоту 50Гц. Частота Найквиста для шага квантования 8мс равен 62.5Гц. Частота сигнала равна 75Гц. В результате изменения шага квантования сигнала был Потерян, но появляется повторно как сигнал с низкой частотой (50Гц). Мы говорим folded back на эффект после переквантования спектра. Наконец, 150-Гц синусоида, повторно дискретизированная с шагом 4 и 8мс, показана на рис.1-9. При дискретизации с шагом 4мс сигнал выглядит как 100-Гц, а при дискретизации с шагом 8мс – как 25-Гц.

Рис.1-4 Часть рисунка 1-2 увеличена, чтобы можно было лучше видеть тренд фазовой характеристики при переходе от трассы к трассе, т.е. от одной частотной составляющей к другой. Сравните тренд, обозначенный положительным пиком Р с фазовым спектром на рис.1-3.

Рис.1-5 При оцифровке непрерывный аналоговый сигнал теряет частоты выше частоты Найквиста: (a) непрерывный аналоговый сигнал; (b) оцифрованный сигнал; (с) восстановленный аналоговый сигнал. (по Rothman, 1981).

Рис.1-6 Временная последовательность, выбранная с шагом 2мс, имеет частоту Найквиста 250Гц. Изменение шага дискретизации до 4 и 8мс ограничивает полосу частот до 125 и 62.5Гц соответственно. Обратите внимание на потерю высоких частот при увеличении шага дискретизации.

Используя одночастотную синусоиду, мы видим, что частоты выше частоты Найквиста в действительности не теряются после дискретизации, а появляются повторно при частотах ниже частоты Найквиста. Рассмотрим наложение двух синусоид с частотами 12.5 и 75Гц (рис.1-10). Оцифровка с шагом 2 и 4мс не приводит к изменению первоначального сигнала, т.к. его частотные компоненты находятся ниже частоты Найквиста, ассоциируемой с шагами 2 и4мс (соответственно 250 и 125Гц). Однако, когда сигнал оцифровывается с большим шагом, например, 8мс, амплитудный спектр изменяется. 12.5-герцовая составляющая не затрагивается, т.к. шаг квантования 8мс достаточен для выборки этой низкочастотной составляющей. С другой стороны, 75-герцовая составляющая выглядит как низкочастотная (50Гц). Снова отметим, что эти частоты в первоначальном сигнале выше частоты Найквиста, соответствующей выбранному шагу дискретизации, folded back в амплитудном спектре оцифрованной версии сигнала. Этот анализ можно распространить на многие синусоиды с различными частотами. В частности, дискретная временная последовательность, полученная путем дискретизации сигнала со слишком большим шагом, содержит вклады высокочастотных компонент этого непрерывного сигнала. Эти высокие частоты folded back на спектр дискретной временной последовательности и проявляются в виде низких частот. Явление, обусловленное слишком большим шагом дискретизации непрерывного сигнала, называется появлением зеркальных частот.

Рис.1-7 25-герцовая синусоида, выбранная с шагом 2мс, остается неизменной при повторной выборке 4 или 8мс.   Рис.1-8 75-герцовая синусоида, выбранная с шагом 2мс, остается неизменной при повторной выборке 4мс, но при увеличении шага до 8мс выглядит как 50-герцовая синусоида. Следовательно, шаг 8мс приводит к появлению ложной частоты на первоначальной синусоиде.

Рис.1-9 150-герцовая синусоида, выбранная с шагом 2мс, выглядит как 100-герцовая при выборке с шагом 4мс и как 25-герцовая при выборке с шагом 8мс, амплитудная модуляция при шаге 2мс обусловлена ограничениями при построении сигнала с очень высокой частотой.   Рис.1-10 Временная последовательность, синтезированная по двум синусоидам 12.5 и 75Гц при шаге дискретизации 2мс остается неизменной при увеличении шага до 4мс. Однако, при шаге 8мс высокочастотная компонента этой последовательности смещается от 75 к 50Гц, тогда как ее низкочастотная компонента не изменяется.

Для расчета зеркальной частоты f_a воспользуемся соотношением

f_a = e2mf_N - f_se, где f_N – половина частоты кодирования, f_s – частота сигнала, m – целое число, при котором f_a < f_N. Допустим, например, что

f_s = 65Гц, f_N =62.5Гц, что соответствует шагу квантования 8мс. Отсюда зеркальная частота равна f_a = e2 5 62.5 – 65 e = 60Гц.

Слишком большой шаг дискретизации дает два эффекта:

(а) спектр непрерывного сигнала ограничивается максимальной частотой, которая представляет собой частоту Найквиста;

(b) спектр цифрового сигнала осложняется высокими частотами за пределами частоты Найквиста, которая могла присутствовать в непрерывном сигнале. Если с первой проблемой ничего нельзя сделать, вторая проблема представляет практическую важность. Чтобы сохранить полосу восстановимых частот между нулем и частотой Найквиста свободной от зеркальных частот, в поле перед преобразованием сигнала из аналоговой формы в цифровую применяется антиалиасный ФНЧ (high-cut antialiasing filter). Этот фильтр устраняет те частотные составляющие, которые при оцифровке могут дать зеркальные частоты. Обычно антиалиасный ФНЧ имеет частоту среза, которая равна 0.75 или 0.5 частоты Найквиста. Этот фильтр обеспечивает ослабление частот выше частоты Найквиста.

Рис.1-11 Суммирование дискретного количества синусоид без задержек по фазе с одной и той же максимальной амплитудой дает симметричный импульс в ограниченной полосе пропускания, который представлен в виде трассы справа (обозначена звездочкой). Это нуль-фазовый импульс.

Рис.1-12 Те же синусоидальные составляющие, что на рис.1-11, но с постоянной временной задержкой, равной – 0.2мс. При суммировании они дают симметричный импульс в ограниченной полосе пропускания, который представлен в виде трассы справа (обозначена звездочкой). Это смещение во времени относится к линейному фазовому спектру, который ассоциируется с суммированными частотными компонентами.

Рассмотрение фазы

В разделе 1.2 был синтезирован зависящий от времени сигнал из его частотных составляющих. Рассмотрим сигнал с нуль-фазовым спектром. На рис.1-11 показаны синусоиды с частотами от 1 до 32Гц. Все эти синусоиды имеют нулевую задержку по фазе, поэтому пики выровнены по линии t=0. Сигнал во временной области на трассе, обозначенной звездочкой на рис.1-11, получен путем суммирования всех этих синусоид. Это суммирование называется обратным преобразованием Фурье. Сигнал во временной области называется импульсом. Обычно импульс считается переходным сигналом, т.е. сигналом конечной длительности. Сигнал имеет начальное время, конечное время и его энергия ограничена двумя этими временами. Полученный импульс симметричен относительно t=0 и имеет положительную амплитуду (амплитуду пика) при t=0. Такой импульс называется нуль-фазовым. Фактически он был синтезирован из нуль-фазовых с одинаковыми амплитудами максимума.

Нуль-фазовый импульс симметричен относительно времени, равного 0. На рис.1-12 показан результат применения линейного смещения по фазе к синусоидам, изображенным на рис.1-11. Линейное смещение по фазе определяется следующим образом: фаза = константа 5 частота. Импульсы обозначенный звездочкой, смещен во времени на –0.2с, но его форма не изменилась. Следовательно, линейное смещение по фазе эквивалентно постоянному смещению во времени. Угол наклона линии, описывающей фазовый спектр, пропорционален смещению во времени.

Рис.1-13 Начиная с нуль-фазового импульса (а), применяются линейные смещения по фазе с целью сдвига импульса во времени без изменения его формы; угловой коэффициент линейной функции фазы относится к смещению во времени.

Рис.1-14 Те же самые синусоидальные составляющие, что на рис.1-11, но к каждой из них применено постоянное смещение по фазе на 90°. Переходы через 0 выровнены по линии t=0. Суммирование этих синусоид дает несимметричный импульс, который представлен трассой справа (обозначена звездочкой).

Импульс может быть смещен на любое время; для этого нужно просто изменить угол наклона линии, описывающей фазовый спектр (рис.1-13). Изменяя знак углового коэффициента на фазовом спектре, импульс можно сместить во времени в противоположном направлении.

Если к каждой из синусоид на рис.1-11 применить смещение по фазе, равное 90° (см. рис.1-14), переходы через нуль будут выровнены по линии t=0. В результате суммирования таких синусоид получен импульс, который показан на трассе, обозначенной звездочкой. Получится антисимметричный импульс. Два импульса на рис.1-11 и 1-14 имеют одинаковые амплитудные спектры, т.к. их частотный состав один и тот же. Разовые спектры этих импульсов различаются. Импульс на рис.1-11 имеет нуль-фазовый спектр, а импульс на рис.1-14 имеет постоянно-фазовый спектр (constant-phase spectrum) (90°). Следовательно, различие форм импульсов обусловлено различием их фазовых спектров.

На рис.1-15 показано действие на нуль-фазовый импульс смещения по фазе на различную величину. Смещение по фазе на 90° преобразуем нуль-фазовый импульс в антисимметричный импульс. Смещение по фазе на 180° изменяет полярность нуль-фазового импульса. Смещение на 270° изменяет полярность нуль-фазового импульса, преобразуя его в антисимметричный импульс. При смещении на 360° сохраняется первоначальная форма импульса. Постоянный фазовый сдвиг изменяет форму импульса. В частности, сдвиг фазы на 90° преобразует симметричный импульс в антисимметричный, а сдвиг на 180° изменяет полярность импульса.

Рис.1-15 Начиная с нуль-фазового импульса (а), его форма изменяется путем применения постоянных фазовых сдвигов. Сдвиг на 90° преобразует нуль-фазрвый импульс в антисимметричный (b), а сдвиг на 180° приводит к обращению его полярности (с). Сдвиг на 270° обращает полярность импульса и делает его антисимметричным (d). Сдвиг на 360° не приводит к изменению импульса.

Итак, исследованы два основных фазовых спектра: линейного и постоянного фазового сдвигов. Рассмотрим их комбинированное действие. Фазовый спектр представляет собой функцию, определенную как a+b5частота, где а – постоянный фазовый сдвиг; b – угловой коэффициент линейного фазового сдвига. На рис.1-16 показаны результаты применения постоянного фазового сдвига на 90° плюс линейной фазовой составляющей на синусоиды, показанные на рис.1-11. Нуль-фазовый импульс таким же амплитудным спектром, как на рис.1-11, был смещен во времени на –0.2с, поскольку применен линейный фазовый сдвиг, и преобразован в антисимметричный импульс вследствие применения постоянного фазового сдвига на 90°.

Другие изменения фазового спектра показаны на рис.1-17. Нуль-фазовый импульс (рис.1-17а) может быть модифицирован в различные формы путем изменения фазового спектра. Модифицирование может быть таким, что форма импульса не будет походить на первоначальную (рис.1-17d). Сохраняя амплитудный спектр неизменным, можно получить импульс другой формы путем модифицирования фазового спектра.

Рис.1-16 Сочетание линейного (рис.1-12) и постоянного фазового сдвига (рис.1-14) дает антисимметричный импульс, смещенный во времени Импульс представлен трассой, обозначенной звездочкой (справа).