Прямые и обратные задачи оптимизации

Все задачи в области оптимизации можно разделить на два основных типа: пря­мые и обратные.

Прямые задачи позволяют ответить на вопрос, что произойдет и чему будет равен критерий оптимизации, если принимается решение х Х.

Для решения прямых задач необходимо построить математическую модель, которая позволяет рассчитать критерий оптимизации (или несколько параметров) в зависимости от заданных условий.

Обратные задачи позволяют выбрать такое решение х, при котором критерий оптимизации примет максимальное (минимальное) значение.

Из сказанного следует, что решение обратных задач требует, чтобы сначала решена была прямая задача.

Различают одномерные и многомерные задачи оптимизации. В первом случае изменяется лишь один параметр объекта, в то время как другие независимы от него и стабилизированы. Но в практике таких задач сравнительно мало. Более широкую группу составляют задачи многомерной оптимизации, когда одновременно в объекте задействованы несколько параметров.

Рассмотрим постановку задачи оптимизации в общей форме.

Эффективность операции определяется одним или несколькими критериями оптимизации - W.

Если условия операции известны, то все факторы условно можно разделить на две составные группы:

1. Заданные и заранее известные факторы и ограничения - а;

2. Зависящие от нас элементы решения, образующие в своей совокупности решение х (числа, векторы, функции и т. д.).

Тогда можно записать:

W=f(a,x)(1.6)

Если зависимость (1.6) известна, то прямая задача решена. Обратная задача в этом случае записывается в виде:

W* = max(min) [ W(a,x)](1.7)

х Х

где W* - показатель оптимизации, имеющий максимум (минимум).

Решение (1.7) имеет место при х=х*,где .x* - решение, обеспечивающее W*.

Поиск экстремума функции или функционала W-далеко не простая задача.

Если функция Wлинейно зависит от элементов решения x₁,,х;, х₃, . . х_nи ограни­чения, налагаемые на них, имеют вид линейных равенств и неравенств, то для этих целей используются методы линейного программирования, которые детально разработаны вплоть до стандартных процедур.

В случае, когда Wвыпукла (нелинейная), применяются методы выпуклого, чаще всего квадратичного программирования.

Динамическое программирование применяется главным образом для оптимиза­ции управления многоэтапными операциями.

Однако критерий оптимизации зависит также еще от одной группы факторов, гак называемых неизвестных факторов, которую обозначим через "b" и которые формируют условия неопределенности. В этом случае:

W=f(a;x;b)(1.8)

Задача поиска оптимального решения в этих условиях приобретает неопределенность. От исследователя требуется найти такое решение в условиях неопределенности, которое обеспечит оптимальное значение критерия оптимизации.

КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

Критерий оптимизации является характеристикой цели и определяет признак, по которому оптимизируется процесс.

Под критерием оптимизации также понимается математический эквивалент цели управления, являющийся функционалом, который зависит от факторов и показателей процесса.

К критерию оптимизации предъявляется ряд требований. Он должен:

• иметь ясный физический смысл;

• однозначно характеризовать объект исследования;

• технологически легко измеряться и выражаться количественно;

• с достаточной полнотой и универсальностью описывать объект.

Если оптимизация осуществляется по одному какому-либо критерию, то такие критерии называются частными, а задачи - однокритериальными.

Значения критерия оптимизации могут быть дискретными и непрерывными.

На критерий оптимизации накладываются различные ограничения(упоры). Ши­роко используются так называемые директивные ограничения. Примером таких ог­раничений могут быть:

■ минимальный выход керна, определяемый из условий достоверности геологического опробования;

■ минимальные скорости и производительность бурения, определяемыми плановыми показателями разведки или добычи;

■максимальная затрачиваемая мощность, ограниченная параметрами привода.