Дополнительный член формулы Лагранжа.

Интерполирование функций.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть для некоторой функции f(x), определённой на [a, b] вычислены (m+1) её значений в точках x0, x1, …, xm: f(x0), f(x1), f(xm) и требуется по этим значениям вычислить значение f(x) при некотором новом значении x. В этом состоит простейшая задача интерполирования. Обычно задачу понимают так: ищется многочлен L(x) наинизшей степени, который в заданных точках xi (k=0,1,…, m), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f(xi), что и функция f(x), и приближённо полагают для любого x из [a, b] f(x)@L(x).

Подобное приближённое равенство называется интерполяционной формулой. Итак, нужно прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем при определённых предположениях относительно функции f(x) - оценить погрешность приближённой формулы.

Для отыскания многочлена L(x), удовлетворяющего условиям L(xi) = f(xi) (i=0,1,…,m), удобно ввести базисный многочлен m-й степени lk(x), k=0,1,…,m, который, соответственно индексу, принимает значение 1 при x = xk и обращается в 0 при x=xi, если i ¹ k.

Замечание 1.Индекс этого многочлена, в отличие от общепринятых обозначений многочленов, указывает не степень, а номер многочлена k.

Конкретизируем многочлен lk(x). Так как при при x=xi, если i ¹ k имеет место lk(x)=0, то его можно записать в виде:

так как при x = xk имеет место lk(x)=1, то подставляя в выражение lk(x) значения x = xk и приравнивая результат единице, получим:

В результате получим:

, (1)

а многочлен L(x)= вычисляется по формуле:

(2)

Тогда многочлен удовлетворяет всем из условий L(xi) = f(xi). Степень этого многочлена не выше m и значит условиями L(xi)=f(xi) он определяется однозначно; его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближённое равенство f(x)@L(x)- интерполяционной формулой Лагранжа.

Замечание. многочлен lk(x) можно записать более сжато, если ввести выражение w(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xm), обращающееся в 0 в узлах интерполирования x0, x1 ,…, xm.

Покажем это: (x¹xk

(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xm)=

Таким образом, и . (3)

Дополнительный член формулы Лагранжа.

оценим разность f(x)-L(x), где x-любое фиксированное значение из отрезка [a, b], отличное от узлов интерполирования. Предположим, что функция f(z) на этом отрезке имеет производные всех порядков до (m+1)-го включительно. Какова бы ни была постоянная К, функция j(z)=f(z)-l(z)-Kw(z) тоже имеет (m+1) производных и к тому же обращается в 0 в узлах xi (i=0,1,…,m). выберем постоянную K так, чтобы и при z = x было j(x)=0,т.е. положим

(1), (так как x¹xi,то w(x)¹0 ).

По теореме Ролля в (m+1) промежутках между m+2корнями x, x0, x1, …, xm функции j(z)найдётся m+1 различных корней её производной j'(z). Применяя снова теорему Ролля к функции j'(z) и к m промежуткам между её (m+1) корнями, установим существование m различных корней второй производной и так далее. Продолжая это рассуждение, на(m+1)-ом его шаге придём к существованию корня x (m+1)-й производной j(m+1)(z), так что:

j(m+1)(x)=0(a<x<b)(2).

Но L(m+1)(z)º0 ибо степень многочлена L(z) не выше m, a w(m+1)(z)º(m+1)! Учитывая определение вспомогательной функции j(z),имеем:

j(m+1)(z)=f(m+1)(z)-K(m+1)!

Так что из (1) получается, что . Окончательно получим:

(a<x<b) (3).

Это интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от f(x)@L(x) она является точной.

Замечание: Если на отрезке [a, b] то, так как на этом отрезке , получаем такую оценку для погрешности формулы f(x)@L(x): .

Наши рекомендации