Условие параллельности прямых.

Лекция 5.

Аналитическая геометрия.

Тема: Уравнения линий на плоскости.

Уравнение линии является важнейшим понятием геометрии.

Пусть мы имеем на плоскости некоторую линию (кривую). Координаты х, у точки, лежащей на этой линии не могут быть произвольными , они должны быть некоторым образом связаны. Такая связь аналитически записывается виде некоторого уравнения.

Уравнением линии на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

В общем виде уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x), где F(x,y) и f(x) – некоторые функции.

Если точка М(х,у) передвигается по линии, то ее координаты меняются. Поэтому координаты точки М(х,у) называются текущими координатами ( от слова «текут», меняются).

Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4, 2) и В(-2, -6).

Решение. Пусть М(х,у) – произвольная точка искомой линии. По условию: АМ=ВМ, следовательно, АМ²=ВМ².

, .

=

или - уравнение прямой.

Любую линию в принципе можно выразить соответствующим уравнением (хотя не всегда легко). Однако, не всякое уравнение определяет на плоскости линию.

Пример. - определяет одну точку (0,0)

- не определяет никакой линии.

Чтобы убедиться, лежит ли точка М(х,у) на данной линии F(x,y)=0, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки данному уравнению.

Тема: Прямая на плоскости.

Пусть прямая пересекает ось Оу в точке В(0; b) и образует с осью Ох угол a . ( ) (см. рис. 4.3).

Возьмем на прямой произвольную точку М (х, у), Тогда тангенс угла а наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника МВN:

,

kx=y-b, Þ y=kx+b (*)

Можно показать, что формула (*) остается справедливой и для случая

Итак, мы доказали, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (*). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению (*).

Уравнение (*) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи уравнения (*).

1. Если b = 0, то получаем у = kx — уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при k= tgа>0 острый угол а с осью Ох, а при k=tgа < 0 тупой угол (см. рис.).

2. Если a=0,то k=tg0=0 и уравнение прямой, параллельной оси Ох, имеет вид у=b, а самой оси Ох у = 0 (см. рис.).

3. Если , то прямая перпендикулярна оси Ох (см. рис.2) и не существует, т. е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, что уравнение такой прямой х = а (так как абсцисса любой точки прямой равна а), а уравнение оси Оу есть х=0.

Различные виды записи уравнения прямой.

1.y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом. (1) k=tga - тангенс угла наклона прямой,

b – отрезок, отсекаемый на оси Ох

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент (уравнение пучка прямых).

у

Пусть прямая проходит через точку М₁(х_1, у₁) и образует с осью Ох угол .

Так как точка М₁(х_1, у₁) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), т. е.

y₁=kx₁+b (**)

Вычтем из равенства (1) равенство (**), получим

у-y₁=k(х-x₁)+b (2)

(2) - уравнение пучка прямых.

Если k –произвольное число, то (2) - уравнение пучка прямых, проходящих через точку М₁(х_1, у₁)

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3;-2) а). под углом 135⁰ к оси Ох б). параллельно оси Оу в). найти уравнение пучка прямых

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть

даны две точки М₁(х₁,у₁), М₂(х₂,у₂) и х₁¹ х₂, у₁¹ у₂

Для составления уравнения прямой М₁М₂ (рис. 4.10) запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М₁:

у-y₁=k(х-x₁)+b

Так как точка М₂(х₂,у₂) лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М₂ в уравнение пучка

у₂-y₁=k(х₂-x₁)+b

и найдем угловой коэффициент прямой

Теперь уравнение искомой прямой примет вид

или

(3)

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-5; 4) и В (3; -2).

4. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая отсекает на осях координат отрезки а¹0 и b¹0. Тогда она проходит через точки А(а, 0) и B(0, b). Используя уравнение (3), получим

или

(4)

(4) – уравнение прямой в отрезках.

5. Общее уравнение прямой и его исследование. Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде

Ах + Ву + С = 0, (5)

в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е. А²+ В²¹0.

1.Пусть В ^ 0. Тогда уравнение (5) можно записать в виде

Обозначим , .

а). Если А¹0, С ¹0, то получим у=kх+b (уравнение прямой с угловым коэффициентом);

б). если А¹0, С=0, то y=kx (уравнение прямой, проходящей через начало координат);

в). если А=0, С=0, то у=b (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

г). если А=0,С=0, то у = 0 (уравнение оси Ох).

2.Пусть В = 0, А¹0. Тогда уравнение (5) примет вид

Обозначим .

а). Если С¹0, то получим х = а (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

б). если С =0, то х = 0 (уравнение оси Оу).

Таким образом,при любых допустимых значениях коэффициентов А, В, С уравнение (5) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху·

Уравнение (5) называется общим уравнением прямой.

Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых (2) общее уравнение (5) включает и уравнение любой вертикальной прямой, параллельной оси Оу.

Некоторые формулы.

1. Угол между двумя прямыми.

Пусть заданы две прямые

y=k₁x+b₁ (а)

y=k₂x+b₂ (б)

Найдем угол j между ними .

Из рисунка видно, что j=a₂-a₁.

Причем k₁=tga₁, k₂= tga₂,

, .

Тогда

(1)

Условие параллельности прямых.

Если прямые (а) и (б) параллельны, то угол j=0 и tgj=0. Тогда из формулы (1) следует, что k₂-k₁=0, т.е.

k₂=k₁ (2)

(2) – условие параллельности двух прямых.