Метод векторных контуров в кинематике механизмов

Кинематическому анализу механизма предшествует задача структурного анализа. Результатом структурного анализа является символическая формула строения механизма (формула (1.5) для механизма Рис.1). Эта же формула, как правило, опре­деляет последовательность формирования алгоритма кинематиче­ского анализа, т.е. является алгоритмической формулой. Смысл ее в следующем: как механизм на стойке собирается путем последо­вательного присоединения кинематических групп, так и алгоритм кинематического анализа формируется последовательным соеди­нением расчетных модулей, каждый из которых позволяет выпол­нить кинематическое исследование соответствующей группы. При этом результаты исследования одной группы становятся исходны­ми данными для анализа следующих.

Исследование плоских рычажных механизмов удобно проводить методом векторных контуров, разработанным проф. В.А.Зиновьевым. В этом методе связи в механизме, определяемые как видом кинематических пар, так и размерами звеньев, выражаются в форме условий замкнутости векторных контуров, построенных на базе кинематической схемы механизма. В скалярной форме соответствующие зависимости получают, проецируя контуры на оси координат.

В ДЗ анализируется плоский рычажный механизм, в состав которого входят двухзвенные группы с нулевой подвижностью (группы Ассура) и (или) группы со степенью подвижности 1. Векторные контуры составляют для каждой входящей в механизм группы Ассура. Построенные на базе векторных контуров расчетные модули объединяют в единый расчетный алгоритм согласно алгоритмической формуле, полученной при решении задачи структурного анализа механизма.

Сформулируем формальные правила, которые в дальнейшем будем соблюдать:

- выберем правую декартову систему координат , начало ко­торой совпадает с неподвижной точкой начального звена;

- правило отсчета углов: угол будем отсчитывать от положительного на­правления оси до положительного направления соответствую­щего вектора, двигаясь против хода часовой стрелки.

Получим функции положения для условного механизма 1-го класса I_В(0,1) и групп Ассура 2-го класса (диад). Аргумент функций – обобщенная координата (в дальнейшем подразумевается, но не пишется).

2.2.1 Анализ группы I_В(0,1)

Воспользуемся Рис. 2.

Дано: ; ; ; - угол, соответствующий начальному положению входного звена.

Найти: функцию положения точки :

Функция учитывает заданное направление вращения звена 1 в составе механизма:

Запишем: ;

Фрагмент записи в системе Mathcad

Построим расчетные модули кинематического анализа для групп Ассура 2-го класса.

2.2.2. Группа II_ВВВ(2,3)

Дано: ,

;

Найти: функции положения 2-го и 3-го звена: и

Запишем условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

(Здесь, и в дальнейшем, при выводе расчетных формул аргумент будем опускать):Рис. 3.

Решение полученной системы трансцендентных уравнений можно получить только приближенными, итерационными методами. В системе Mathcad решение может быть найдено с использованием процедуры Given- Find, что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и . Начальные приближения задаются на основании построенного при любом значении плана механизма.

Фрагмент записи в системе Mathcad

Функция - возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения системы уравнений в блоке, объявленном директивой , который кроме решаемой системы уравнений может содержать и условия ограничения. Вместо функции может

использоваться, например, функция , которая возвращает значение одной или нескольким переменным для приближенного решения системы нелинейных уравнений.

2.2.3. Группа II_ВВП(2,3)

Дано: ,

; угловое положение

направляющей для ползуна 3.

Найти: функцию положения 2-го звена и функцию перемещения ползуна 3.

Запишем условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 4. ,

. В системе Mathcad искомые функции и могут быть найдены несколькими способами.

1. Решим исходную систему двух уравнений с использованием функции в блоке , что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2. Решим исходную систему уравнений относительно 3-х переменных: , и , что потребует задания еще одного уравнения: .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

Функция найдена с использованием стандартной функции . Функция позволяет найти угол между осью и отрезком прямой с конечными точками и , причем и должны быть реальными значениями.

3. Возведем каждое из уравнений исходной системы в квадрат и сложим. Получим квадратное уравнение относительно :

,

где , .

Для решения полученного уравнения вместо функции будем использовать функцию . Далее, из первого уравнения системы найдем , из второго .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

4. (Способ предложен В.В.Кузенковым). Неизвестную функцию будем искать в виде . Тогда исходная система уравнений примет вид

,

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

Группа II_ВВП(2,3) с горизонтальным перемещением ползуна

Дано: ; ; ;

Найти: функцию положения 2-го звена и функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 5.

Получим расчетные формулы для неизвестных и . Из второго уравнения системы найдем . Затем (знак минус перед радикалом соответствует правой сборке группы Ассура, угол изменяется в пределах < < ). Функция в системе Mathcad может быть найдена с помощью стандартной функции . Из первого уравнения системы найдем выражение для : .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.5. Группа II_ВВП(2,3) с вертикальным перемещением ползуна

Дано: ; ;

;

Найти: функцию положения 2-го звена и функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 6.

Получим расчетные формулы для неизвестных и . Из первого уравнения системы найдем . Затем (знак плюс перед радикалом соответствует нижней сборке группы Ассура, угол изменяется в пределах 0 < < ). Функция в системе Mathcad может быть найдена с помощью стандартной функции . Из второго уравнения системы получим выражение : .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.6. Группа II_ВПВ(2,3)

Дано: ; ;

Найти: функцию положения 3-го звена и функцию относительного перемещения ползуна 2.

Условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 7.

Возведем уравнения системы в квадрат и сложим их. Из полученного выражения найдем . Затем, из первого уравнения получим , из второго уравнения .

Функция в системе Mathcad может быть найдена с помощью стандартной функции .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.7. Группа II_ВПВ(2,3) с эксцентриситетом

Дано: ; ;

величина эксцентриситета .

Найти: функцию положения 3-го звена и функцию относительного перемещения ползуна 2

Условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 8.

После приведения

В системе Mathcad искомые функции и могут быть найдены с использованием процедуры Given - Find, что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.8. Группа II_ПВП(2,3) общего вида

Дано: ;

величина эксцентриситета: - для ползуна 2, - для ползуна 3;

угловое положение направляющих

, .

Найти: функции относительного

перемещения: ползуна 2,

ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура

Рис. 9.

В проекциях на оси координат

,

.

После приведения

,

.

В системе Mathcad искомые функции и могут быть найдены с использованием процедуры Given - Find, что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.9. Группа II_ПВП(2,3) с вертикальным перемещением ползуна

Дано: ; координата направляющей ползуна 3;

угловое положение направляющей

ползуна 2.

Найти: функцию относительного перемещения ползуна 2,

функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура:

В проекциях на оси координат Рис. 10.

Из первого уравнения найдем , подставим полученное выражение во второе уравнение. Найдем .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.10. Группа II_ПВП(2,3) с горизонтальным перемещением ползуна

Дано: ; координата

направляющей ползуна 3;

угловое положение направляющей

ползуна 2.

Найти: функцию относительного перемещения ползуна 2,

функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура:

В проекциях на оси координат

Рис. 11.

Из второго уравнения найдем , подставим полученное выражение в первое уравнение. Найдем .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.11. Группа II_ВПП(2,3)

Дано: ;

угловое положение вектора Найти:

Условие замкнутости векторного контура:

В проекциях на оси координат Рис.12.

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.12. Вспомогательный контур

Предназначен для расчета кинематических параметров присоединительных пар и характерных точек.

Дано: ;

угловое положение вектора Найти:

В проекциях на оси системы координат

,

Рис. 13. .