Для параболических уравнений

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения с переменными коэффициентами:

для параболических уравнений - student2.ru

Предполагаем, что функции для параболических уравнений - student2.ru непрерывны на отрезке

для параболических уравнений - student2.ru и выполнены неравенства

для параболических уравнений - student2.ru

Будем искать решение задачи (56 для параболических уравнений - student2.ru 58) в форме

для параболических уравнений - student2.ru (59)

и подставляя (59) в (56), после разделения переменных получим

для параболических уравнений - student2.ru (60)

Из (57) и (59) вытекает, что функция Х(х) должна удовлетворять гранич- ным условиям для параболических уравнений - student2.ru Присоединив эти граничные условия к дифференциальному уравнению для Х(х) получим, так называемую, зада- чу Штурма для параболических уравнений - student2.ru Лиувилля:

для параболических уравнений - student2.ru

где нужно определить значения параметра для параболических уравнений - student2.ru и соответствующие нетри-

виальные решения Х(х).

Определение. Те значения параметра для параболических уравнений - student2.ru , для которых задача (61 для параболических уравнений - student2.ru 62) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями.

Ранее у нас встречалась задача Штурма для параболических уравнений - student2.ru Лиувилля (37 для параболических уравнений - student2.ru 38) для урав-нения с постоянными коэффициентами и нахождение ее собственных функций базировалось на возможности найти явно общее решение диф- ференциального уравнения. Теперь мы имеем такую ситуацию, когда уравнение (61), вообще говоря, не интегрируется в квадратурах и в первую очередь возникает вопрос о существовании собственных значений и собственных функций и их свойствах.

Справедливы следующие три теоремы.

Теорема 1. Задача Штурма для параболических уравнений - student2.ru Лиувилля (61 для параболических уравнений - student2.ru 62) имеет счетное множес- тво положительных собственных значений

для параболических уравнений - student2.ru

отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны друг другу с весом для параболических уравнений - student2.ru на отрезке для параболических уравнений - student2.ru , т. е.

для параболических уравнений - student2.ru

Теорема 3. Если f(x) имеет на для параболических уравнений - student2.ru непрерывные производные до вто- рого порядка включительно и удовлетворяет граничным условиям

для параболических уравнений - student2.ru то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящий- ся ряд Фурье по собственным функциям задачи (61 для параболических уравнений - student2.ru 62)

для параболических уравнений - student2.ru

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

для параболических уравнений - student2.ru

Считая задачу Штурма-Лиувилля решенной, вернемся к равенству (60) и решим дифференциальное уравнение

для параболических уравнений - student2.ru

Очевидно, что для параболических уравнений - student2.ru Теперь составляем ряд

для параболических уравнений - student2.ru (63)

и определяем Аk так, чтобы выполнялось начальное условие (58), т. е.

для параболических уравнений - student2.ru

откуда в силу теорем 2 и 3 следует, что

для параболических уравнений - student2.ru (64)

Итак найдено , что решение задачи (56 для параболических уравнений - student2.ru 58) дается формулами (63), (64).

Заметим, что теорема 2 об ортогональности будет иметь место и для других задач Штурма для параболических уравнений - student2.ru Лиувилля, если граничные условия (57) заменить на для параболических уравнений - student2.ru или, например, для параболических уравнений - student2.ru Более того, чуть позже рассмотрим так называемый особый случай, когда коэффи –циент k(х) обращается в нуль в точках х=0 и для параболических уравнений - student2.ru , и собственные функ- ции будут снова составлять ортогональную с весом ρ(х) систему функ- ций.

Разумеется, что рассмотренная задача Штурма для параболических уравнений - student2.ru Лиувилля для уране-ния с переменными коэффициентами может возникнуть и при решении уравнений гиперболического или эллиптического типа. Если, например,

в правой части (56) заменить для параболических уравнений - student2.ru на для параболических уравнений - student2.ru , то получим уравнение гипебо- лического типа с переменными коэффициентами, решение которого будет опираться на задачу (61 для параболических уравнений - student2.ru 62).

192. Имеется однородный тонкий стержень длиной для параболических уравнений - student2.ru , изолированный от окружающего пространства, с начальной температурой для параболических уравнений - student2.ru Определите температуру u(x,t) точек стержня при t>0, если концы стерж- ня поддерживаются при температуре, равной нулю.

Р е ш е н и е. Поставленная задача равносильна смешанной задаче

для параболических уравнений - student2.ru

которую решаем методом Фурье, полагая для параболических уравнений - student2.ru После подстановки в дифференциальное уравнение и разделения переменных найдем

для параболических уравнений - student2.ru

Из граничных условий получим

для параболических уравнений - student2.ru

Теперь решаем задачу Штурма-Лиувилля:

для параболических уравнений - student2.ru

Из дифференциального уравнения для параболических уравнений - student2.ru находим, что

для параболических уравнений - student2.ru

и, следовательно, решение смешанной задачи будет иметь вид

для параболических уравнений - student2.ru

Определим коэффициенты Аk так, чтобы выполнялось начальное условие

для параболических уравнений - student2.ru

Подставляя значения коэффициентов в ряд, придем к ответу

для параболических уравнений - student2.ru

193. Растворенное вещество с начальной концентрацией u0 диффундиру- ет из раствора, заключенного между плоскостями х=0 и для параболических уравнений - student2.ru в раствори- тель ограниченный плоскостями x=h и для параболических уравнений - student2.ru . Определить процесс вырав- нивания концентрации, предполагая, что границы х=0 и для параболических уравнений - student2.ru непроница- емы для вещества.

Наши рекомендации