Формула Байеса (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru с известными вероятностями их наступления Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru .

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru относительно события А, т.е. условные вероятности Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru .

Эта формула называется формулой Байеса.

Доказательство.По теореме умножения вероятностей находим:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru .

Тогда если Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru то Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru . Для нахождения вероятности Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru используем формулу полной вероятности:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru .

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru , то формула Байеса принимает вид:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru .

Пример. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым стрелком, если вероятности попадания для этих стрелков равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5.

В этой задаче требуется определить вероятность гипотезы уже после того, как событие уже совершилось. Для определения искомой вероятности надо воспользоваться формулой Байеса. В нашем случае она имеет вид:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru ,

где Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru – гипотезы, что медведя убьет первый, второй и третий стрелок соответственно. До произведения выстрелов эти гипотезы равновероятны и их вероятность равна Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru . Вероятность того, что медведя убил первый стрелок при условии, что выстрелы уже произведены (событие А) имеет вид Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru .

Вероятности того, что медведя убьет первый, второй или третий стрелок, вычисленные до выстрелов, равны соответственно:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru ;

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru ;

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru ,

где Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru вероятности промаха для каждого из стрелков, рассчитаны по формуле Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru , где р – вероятности попадания для каждого из стрелков.

Подставим эти значения в формулу Байеса, находим:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru

Пример. Известно, что 96 % выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Отдел технического контроля признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную - с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, удовлетворяет стандарту.

Обозначим через А-событие, что изделие прошло контроль. Гипотезы: Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru - изделие удовлетворяет стандарту, Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru - изделие не удовлетворяет стандарту. Имеем Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru (так называемый риск изготовителя, т.е. в 2% случаев годная продукция признается браком); Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru (так называемый риск потребителя, т.е. в 5% случаев негодная продукция поступает к потребителю).

По условию задачи изделие прошло контроль, т.е. событие А произошло, и при этом условии необходимо определить вероятность стандартности изделия, т.е. гипотезы Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru . Следовательно, необходимо применить формулу Байеса:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru

Пример. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течении времени t (первого узла равна Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru , второго- Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru . Прибор испытывали в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя ( отказал ). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

До опыта возможны четыре гипотезы:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru - оба узла исправны;

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru - первый узел отказал, а второй исправен;

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru - первый узел исправен, а второй отказал;

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru - оба узла отказали.

Прибор работоспособен только при выполнении гипотезы Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru , а при других гипотезах он отказывает, т.е. Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru где А- отказ прибора.

Так как известно, что событие А произошло, необходимо найти сначала условную вероятность Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru Определим сначала вероятности гипотез:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru

По формуле Байеса находим:

Формула Байеса (формула гипотез) - student2.ru

Наши рекомендации