Краткие теоретические сведения и основные формулы. Учебная цель: сформировать понимание физических свойств идеальных газов и закономерностей происходящих в них процессов
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Учебная цель: сформировать понимание физических свойств идеальных газов и закономерностей происходящих в них процессов. Привить навыки самостоятельного решения задач на данную тему.
Литература
Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1989. - Гл.10, § 10.2.
Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987. - Т.1. - гл. 11, § 96, 97.
Контрольные вопросы для подготовки к занятию
1. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической теории.
2. Запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Поясните физический смысл величин, входящих в это уравнение.
3. Почему это уравнение называется основным?
4. Дайте молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры.
5. Запишите выражение для средней квадратичной скорости теплового движения молекул. Поясните его.
6. Запишите выражение для внутренней энергии идеального газа. От чего зависит внутренняя энергия?
Краткие теоретические сведения и основные формулы
Одна из основных задач кинетической теории газов заключается в расчете давления идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений.
Стенки сосуда, в котором заключен газ, подвергаются непрерывной бомбардировке молекулами. В результате элементу стенки DS сообщается за единицу времени некоторый импульс, который равен силе, действующей на DS. Отношение этой силы к величине DS дает давление, оказываемое газом на стенки сосуда.
Формула для определения давления газа
(18.1)
где - число молекул в единице объема (или концентрация молекул), – масса молекулы, - среднее значение квадрата скорости.
Для однородного газа массы всех молекул одинаковы. Поэтому их можно внести под знак среднего. В результате выражение (18.1) примет вид
, (18.2)
где <Wк> - среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы.
Давление газа пропорционально числу молекул газа в сосуде и среднему значению кинетической энергии поступательного движения молекул. Формулу (18.2) можно переписать иначе:
, (18.3)
Уравнение (18.2) и эквивалентное ему уравнение (18.3) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа: произведение давления газа на его объем равно средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул газа.
Сравнивая уравнение (18.2) с уравнением состояния идеального газа р = n k T, получаем, что
. (18.4)
Формула (18.4) справедлива не только для газов, но и для веществ в любом состоянии. Она замечательна в том отношении, что средняя кинетическая энергия <Wк> оказывается зависящей только от абсолютной температуры тела и не зависит от массы молекулы.
Поскольку абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней кинетической энергии теплового движения молекулы, то формула (18.4) выявляет молекулярно-кинетический смысл температуры. По определению , т. е. температура тела есть количественная мера теплового движения молекул, из которых состоит это тело.
При Т = 0 <Wк> = 0, т.е. прекращается тепловое движение молекул газа, следовательно, равно нулю и его давление.
Если в уравнение подставить значение , то получим
. (18.5)
Средней квадратичной скоростью Vкв называется корень квадратный из среднего квадрата скорости
. (18.6)
Так как , а NA . = m (молярной массе), то
. (18.7)
Для одного и того же газа (m = const) с увеличением температуры средняя квадратичная скорость увеличивается. Для разных газов (m ¹ const) при одинаковой температуре Т средняя квадратичная скорость больше у молекул того газа, молярная масса которого меньше.
Формула (18.4) определяет энергию только поступательного движения молекулы. Однако наряду с поступательным движением возможны также вращения молекул и колебания атомов, входящих в состав молекулы. Оба эти виды движения связаны с некоторым запасом энергии, определить который позволяет устанавливаемое статистической физикой положение о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы.
Число степеней свободы i – число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве.
Произвольное перемещение тела в пространстве можно составить из шести одновременных независимых движений: трех поступательных (вдоль трех осей прямоугольной системы координат) и трех вращательных (вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести тела) (рис.18.1). Следовательно, у твердого тела i = 6. Столько же степеней свободы у трех- и многоатомных молекул газа. Двухатомная молекула (рис.18.2) имеет пять (i = 5) степеней свободы (три поступательные и две вращательные). Одноатомная молекула имеет только три (i = 3) степени свободы (рис.18.3).
Рис. 18.1 Рис. 18.2 Рис. 18.3
Таким образом, средняя кинетическая энергия одной молекулы равна
, (18.8)
где i – сумма всех степеней свободы молекулы. Для молекул идеального газа .
Внутренняя энергия одного моля идеального газа равна сумме кинетических энергий NA молекул:
. (18.9)
Если данная масса т газа содержит молей, то его внутренняя энергия:
. (18.10)
Из формулы (18.10) видно, что внутренняя энергия газа зависит от температуры, массы газа и его природы.
Примеры решения задач
Задача 1. Найти число молекул в 1 см3 водорода, если давление газа равно 2,67.104 Па, а средняя квадратичная скорость его молекул при данных условиях равна 2400 .
Дано: Решение
р = 2,67.104 Па
<Vкв > = 2400
V= 1 см3 = 10–6 м3
m = 2.10-3
N - ? ,
где .
Отсюда
. (1)
Массу молекулы найдем, зная молярную массу и число Авогадро:
.
Подставляем в формулу (1):
.
Вычисляем концентрацию молекул:
= 4,2 . 1024 м –3.
Тогда число молекул N = n . V = 4,2 . 1018 (молекул).
2. Используя связь давления с концентрацией и формулу средней квадратичной скорости
Получаем ту же формулу для вычисления п.
Ответ: N = 4,2 . 1018 молекул содержится в 1 см3.
Задача 2. Плотность некоторого газа 6.10-2 , а средняя квадратичная скорость его молекул <Vкв > = 500 . Найти давление, которое газ оказывает на стенки сосуда.
Дано: Решение
r = 6,0 . 10-2
<Vкв > = 500
p - ?
Преобразуем это уравнение:
где N – число молекул газа, т – масса газа, – масса одной молекулы газа.