Внутреннее, или скалярное произведение векторов

Скалярное произведениедвух векторов x и y одинаковой размерности (n×1) обозначается <x, y> и определяется в общем случае комплексных x, y следующим образом:

для действительных векторов x и y:

О р т о г о н а л ь н ы е в е к т о р ы

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение <x, y>равно нулю:

<x , y> = 0 .

Внешнее, или векторное произведение векторов

Если вектор-столбец x размерности (m×1) обозначить через x>, а вектор-строку [y*]^T размерности (1×n) обозначить через <y, то внешним произведениемx><y будет матрица (m×n):

Длина вектора

В общем случае длина вектора x, называемая также нормой, определяется следующим образом:

Для действительных x:

Неравенства

2.5.4.1. Неравенство треугольника:

2.5.4.2. Неравенство Шварца:

Единичный вектор– вектор, длина (норма) которого равна единице:

Линейная независимость векторов

Векторы x_i(i=1, 2, 3, …, m) называются линейно независимыми, если не существует постоянных величин k_i (i=1, 2, 3,…, m), из которых хотя бы одна отлична от нуля, так что можно было бы записать:

Особенная матрица

Если строки или столбцы матрицы не являются линейно-независимыми, в этом случае определитель этой матрицы равен нулю.

В ы р о ж д е н н о с т ь

Если строки особенной матрицы связаны одним линейным соотношением, то матрица называется просто вырожденнойили однократно вырожденной. Если строки особенной матрицы связаны более чем одним линейным соотношением, то матрица многократно вырожденная.
Рангом r матрицы А называется наивысший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля.

r = n – q,

где q – вырожденность, или дефект.

П р а в и л о в ы р о ж д е н н о с т и С и л ь в е с т р а

Дефект произведенияматриц не меньше дефектов каждой из матриц и не больше суммы дефектов матриц-сомножителей:

Определитель Грама

Определитель Грамастроится для системы векторов в предположении, что векторы x_i линейно зависимы:

.

Запишем последовательно скалярные произведения векторов x_i :

Известно, что система однородных уравнений (в данном случае относительно неизвестных k_i) имеет нетривиальное решение только в том случае, если определитель матрицы с коэффициентами <x_i , x_j> равен нулю. Этот определитель и называется определителем Грама:

В результате можно сделать следующий вывод.

Системавекторовx₁,…, x_mлинейно независимав том случае, когдаопределитель Грамане равен нулю.

В том случае, когда x₁,…, x_m –система ортогональных векторов, определитель Грамаприобретает диагональный вид.

Вопросы к разделу 2.5

1. В чем состоит условие ортогональности векторов?
2. Результатом скалярного произведения двух векторов является скаляр, а результатом векторного произведения?
3. Почему неравенство называется неравенством треугольника?
4. Почему в неравенстве Шварца в левой части используются одинарные прямые вертикальные скобки, а в правой – двойные?
5. Что называется дефектом особенной матрицы?
6. Что такое ранг матрицы?
7. Какие векторы являются линейно независимыми?
8. Что можно сказать о системе векторов, для которой определитель Грама равен нулю?
9. Что можно сказать о системе векторов, для которой определитель Грама имеет диагональный вид?