Подведение числителя под знак дифференциала

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или

(коэффициенты a, b и f не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

.

Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.

1) Когда дан интеграл вида

или

(где коэффициенты a, b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак дифференциала: .

3) Раскрываем дифференциал:

.

Смотрим на числитель нашего интеграла:

Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x. В данном случае с подходящим множителем получится:

.

4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:

Снова смотрим на числитель нашего интеграла:

. Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2).

5) К нашему дифференциалу

приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:

.

– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)

наше «не то» слагаемое:

– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:

– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:

.

6) Выполняем проверку:

У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.

Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники.

И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

.

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

.

Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице:

.

Как видите, интегрирование дробей - дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать…

Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

.

Пример 4: Решение:

.

Пример 7: Решение:

Пример 8: Решение:

.

Пример 10: Решение:

.

Пример 13: Решение:

.

Пример 15: Решение:

Пример 16: Решение:

.