Нахождение угла между прямой и плоскостью
- Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
- 0˚<(a,α)<90˚.
Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий векор прямой l;
Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С).
Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.):
ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.
Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).
Решая систему
находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b= , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты .
Найдем координаты вектора
Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:
.
Ответ:45˚
Нахождение угла между двумя плоскостями
- Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
- Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
- Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
- Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между нормалями к этим плоскостям по формуле или в координатной форме , где - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0, - вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.
Пример 1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.
Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей: (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (A E), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:
А∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;
А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;
А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0.
Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0.
Значит, А1=1, В1= 2, С1= -1
Составим уравнение плоскости (CF ), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:
А∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;
А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;
А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0.
Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид:
2х +у +z – 3 = 0. Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле:
.
Значит, угол между плоскостями равен 60̊. Ответ: 60̊.