Инъективные, сюръективные отображения

Определение 1.Отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru называется инъективным или инъекцией, если два различных элемента из множества Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru имеют образами при отображении Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru два различных элемента из множества Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , т.е.

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Например, отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru приведенное на следующей схеме

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

является инъекцией множества Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru в множество Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru . Здесь Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Определение 2. Отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru называется сюръективным или сюръекцией, если каждый элемент из множества Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru является образом при отображении Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru по крайней мере одного элемента из Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , т.е.

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru такой, что Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , т.е. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Сюръективное отображение – это отображение множества Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru на множество Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Например, отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

является сюръективным, а отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

не является сюръективным.

Если Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru при отображении Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , то отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - сюръективное.

Теорема. Отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно.

Доказательство. Пусть Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - биективно. Тогда каждый элемент Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru является образом при отображении Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru некоторого элемента Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , следовательно, отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - сюръективно. А так как этот элемент Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - единственный, то из этого следует, что разным элементам Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru соответствуют разные образы, т.е. отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru инъективно.

Обратно, пусть Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - инъективно и сюръективно одновременно. Тогда в силу сюръекции Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , а ввиду инъективности отображения Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru содержит единственный элемент.

Примеры.

1. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru не сюръективно, т.к. элемент Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru не является образом ни одного элемента из Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru . Оно не является и инъективным, т.к. два различных элемента Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru и Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru имеют образом один и тот же элемент Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

2. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru сюръективно, но не инъективно.

3. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Отображение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru сюръективно и инъективно одновременно, т.к. оно биективно.

Графики взаимнообратных функций

1. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - нечетное.

Уравнение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru для любого Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru имеет единственное решение Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , поэтому функция Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru обратима и имеет обратную функцию Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru по правилу Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Обозначим аргумент обратной функции через Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , получим

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Рассмотрим графики функций Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru и Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

График обратной функции Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru (рис. 6б) симметричен графику функции Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru (рис. 6а) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 6а Рис. 6б

2. Отметим, что следующая функция не обратима:

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - четное.

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 7

3. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 8а Рис. 8б

4. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - нечетное

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 9а Рис. 9б

5. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru - четное. Эта функция не обратима.

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 10

6. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

1 1

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

0 1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 11а Рис. 11б

7. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru ,

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 12а

Рис. 12б

8. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru ,

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru -1 0 1

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru -1

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 13а Рис. 13б

9. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru ,

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru -1 0 1 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru -1

Рис. 14а Рис. 14б

10. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru ,

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Рис. 15а Рис. 15б

11. Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru ,

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru : Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru , Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru .

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru 0 Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Инъективные, сюръективные отображения - student2.ru

Наши рекомендации