Расчет и построение временной характеристики объекта регулирования

Задание:

· Вывод математического дифференциального уравнения объекта регулирования по его передаточной функции.

· Нахождение решения полученного дифференциального уравнения при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях.

· Расчет и построение графика переходной функции объекта регулирования.

Различают статические и динамические характеристики элементов системы. Статической характеристикой называют зависимость выходного сигнала элемента от входного в установившемся состоянии. Динамическая характеристика – это реакция системы на возмущение (зависимость изменения выходных переменных, входных и от времени).

Переходной характеристикой называют реакцию системы на ступенчатое единичное входное воздействие при нулевых начальных условиях (из установившегося состояния). В качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения или их различные преобразования.

Дифференциальное уравнение звеньев и систем в общем виде можно представить, как

Где a_i (i=1,2…n), b₀ – постоянные коэффициенты; x,y – величины входного и выходного сигналов.

Другим математическим описанием динамики звеньев и систем является аппарат передаточных функций. Методика получения передаточной функции объекта регулирования по дифференциальному уравнению приведена в приложении Б. Согласно ей возможно решение обратной задачи: получение дифференциального уравнения из передаточной функции.

Для расчета и построения временной характеристики объекта регулирования следует найти решение его дифференциального уравнения.

В полученном выражении решения дифференциального уравнения задается значение времени t и строим графи временной характеристики объекта.

Составим математическое дифференциальное уравнение объекта регулирования по его передаточной функции.

Дано дифференциальное уравнение

Определим математическое выражение передаточной функции

Решение.

1. Применим к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях справедливы формулы преобразования операций дифференцирования:

2. Дифференциальное уравнение, преобразованное по Лапласу, записывается в виде

3. Отношение изображений выходного сигнала Y(P) ко входному X(P) при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией W(P):

Возможен обратный расчет. По известной передаточной функции можно найти дифференциальное уравнение.