Решение уравнений, сводящихся к простейшим
а) б)
в) cos x = p/4 –решений нет, т. к cos x не может быть равен углу
Решение дробно-рациональных уравнений:
а) - решаем, используя свойство пропорции
Данное уравнение имеет решения при условии: 3cos x + 4 0; cos x -4/3, следовательно не существует такого значения х, при котором знаменатель дроби обращается в 0.
Ответ: nÎ Z
б) Дробь равнa 0, если её числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0: Далее уравнение решается в виде системы
2 sin2 x – 3 sin x = 0
1 + cos x 0
решаем первое уравнение системы: 2 sin2x – 3sinx = 0; sinx(2 sinx - 3) = 0,
откуда sinx = 0 или 2 sinx – 3 = 0
1) sinx = 0, х = pn, nÎ Z;
2) 2 sinx – 3 = 0; sinx = - решений нет
Второе условие: 1 + cos x 0 выполняется, если cos x -1, т.е. x p + 2pk, kÎZ
Таким образом, данная система равносильна системе: у
х = pn, nÎ Z;
x p +2pk, kÎ Z
На единичной окружности отмечаем числа:
х = pn, nÎZ и выбираем те, которые удовлетворяют p 0 0 2p х
условию x p + 2pk, kÎ Z.
Это будут числа: х = 2pn, nÎZ (четные значения 2pn, 4pn…)
Ответ: х = 2pn, nÎ Z
Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители:
а) ; ;
Найдем решения второго уравнения:
;
Ответ: ,
б) cos (p/4 + x) – tg 3x · cos (p/4 + x) = 0; выносим за скобки общий множитель
cos (p/4 + x), получаем cos (p/4 + x)(1 - tg 3x) = 0 , решаем далее системой
cos (p/4 + x) = 0 (частный случай)
1 - tg 3x = 0
p/4 + x = p/2 + pn
tg 3x = 1 (частный случай)
x = p/2 - p/4 + pn
3x = p/4 + pn
x = p/4 + pn
x = p/12 + pn/3 Ответ:{ p/4 + pn ; p/12 + pn/3, nÎ Z}
Решение тригонометрических уравнений алгебраическим методом (сведения к одной тригонометрической функции):
- переход к одной тригонометрической функции
не является решением
Ответ: nÎ Z
Решение однородных уравнений:
О:Уравнение вида
(1) - называетсяоднородным тригонометрическим уравнением 1 степени (линейным)
(2) - называется однородным тригонометрическим уравнением II степени.
Рассмотрим уравнение (1) , где а, b ,
пусть cos x , т.е
Делим обе части уравнения на cos x, получаем уравнение вида:
а tgх + b=0, откуда ; - решение
Итак, однородное тригонометрическое уравнение 1й степени имеет общее решение nÎ Z
Пример:
sinx + cosx = 0; x = - arcctg ; x = - arcctg +pn; x = - - ответ
Рассмотрим уравнение (2)
пусть ;
Делим обе части уравнения на cos2x и получаем уравнение вида: ,
производим замену переменной: и получаем квадратное уравнение относительно у:
, решив которое, находим значение для tgx, а затем и значение самого х.
Пример:
, где
;
- замена;
Следовательно,
Ответ:
nÎZ
Решение систем тригонометрических уравнений.
Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие же, как и методы решения алгебраических систем (сложение и подстановка).
а) sin x – cos y = 1 (1)
sin x + cos y = 0 (2) складывая и вычитая почленно уравнения (1) и (2), получаем
2 sin x = 1 sin x =1/2 x =(-1)k p/6 + pk, kÎZ
2 cos y = -1 cos y = -1/2 x = 2p/3 + 2pn, nÎZ
Ответ:x =(-1)k p/6 + pk, kÎZ
x = 2p/3 + 2pn, nÎZ
б) x + y = p
cos x – cos y = 1 Из первого уравнения находим у = p - х, подставляем во второе уравнение и получаем cos x – cos (p - х) = 1; cos x + cos x =1; 2 cos x = 1; cos x = ½;
x = p/3 + 2pn, nÎZ
Тогда у = p - ( p/3 + 2pn) = p/3 + (1 – 2n)p, nÎZ
Ответ:x = p/3 + 2pn, у = p/3 + (1 – 2n)p, nÎZ.