Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения

На данном уроке мы научимся находить интегралы от некоторых видов дробей. Для успешного усвоения материала Вам должны быть хорошо понятны выкладки статей Неопределенный интеграл. Примеры решенийи Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Как уже отмечалось, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби:

.

И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых сейчас и расскажем.

Метод разложения числителя

Пример 1

Найти неопределенный интеграл

. Выполнить проверку.

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решениймы избавлялись от произведения функций в подынтегральном выражении, превращая её в сумму, удобную для интегрирования. Оказывается, что иногда в сумму (разность) можно превратить и дробь!

Анализируя подынтегральную функцию, мы замечаем, что и в числителе и в знаменателе у нас находятся многочлены первой степени: x и (x+3). Когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковойстепени, то помогает следующий искусственный приём: в числителе мы должны самостоятельно организовать такое же выражение, что и в знаменателе:

.

Рассуждение может быть следующим: «В числителе надо организовать(x + 3), чтобы привести интеграл к табличным, но если я прибавлю к «иксу» тройку, то, для того, чтобы выражение не изменилось – я обязан вычесть такую же тройку».

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

В результате мы добились того, чего и хотели. Используем первые два правила интегрирования:

Готово. Проверку при желании выполните самостоятельно. Обратите внимание, что

во втором интеграле – это «простая» сложная функция. Особенности ее интегрирования обсуждались на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку

Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто.

В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель. Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе нам нужно организовать 2x-1, но там x². Что делать? Заключаю 2x-1 в скобки и умножаю на x, как: x(2x-1).

2) Теперь пробуем раскрыть эти скобки, что получится? Получится: (2x²-x). Уже лучше, но никакой двойки при x² изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на (1/2), получим:

.

3) Снова раскрываем скобки, получаем:

.

Получился нужный x²! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое (-1/2)x. Что делать? Чтобы выражение не изменилось, мы обязаны прибавить к своей конструкции это же (1/2)x:

. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать (2x-1)?

4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:

. Простите, но у нас было на предыдущем шаге (+1/2)x, а не(+x). Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на (+1/2):

.

5) Снова для проверки раскрываем скобки во втором слагаемом:

. Вот теперь нормально: получено (+1/2)x из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое (-1/4), значит, мы обязаны прибавить к своему выражению (1/4):

.

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:

Получился.

Таким образом:

Готово. В последнем слагаемом мы применили метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция

.

Рассмотренный метод разложения x² в сумму есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно.

Помимо алгоритма подбора можно использовать деление столбиком многочлена на многочлен, но, боюсь, объяснения займут еще больше места, поэтому - как-нибудь в другой раз.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.