Задачи для контрольных заданий.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания к выполнению контрольных заданий

для студентов-заочников

специальности «Химическая технология»

полной и сокращенной формы обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2011

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям в разделе «Литература» настоящих методических указаний. В начале каждой контрольной работы номера необходимых для этой работы пособий указываются в квадратных скобках. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.

Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов, помещенной в конце методического пособия, согласно тому варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента. Контрольную работу следует выполнять в тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В заголовке работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы. Заголовок работы надо поместить на обложке тетради; здесь же следует указать дату отсылки работы в институт и адрес студента. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными соответствующего номера. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. После получения прорецензированной работы (как не зачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

Контрольная работа № 1.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Аналитическая геометрия. Элементы векторной и

линейной алгебры.

Л и т е р а т у р а: [1], гл.III, IX, X; [2], §1-6, § 7-13; [4], гл. VII, § 1-5; [5], гл. I, II, III; [6], гл. I, II, III.

1.Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется матрицей.

Обозначают матрицу буквами А,В,С,…

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Матрица размером m x n.

а1112,…,аmn-элементы матрицы.

Коротко записывают так: А=(аij), где i-номер строки, j-номер столбца. Матрица размера n x n называется квадратной матрицей n-го порядка.

Элементы a11,a22,…,аnn образуют главную диагональ матрицы, элементы аm1m-1,2…,а1,n-побочную диагональ матрицы. Матрица А=(а11,а12,…,а1n) называется матрицей-строкой размером 1 х n.

Матрица задачи для контрольных заданий. - student2.ru - матрица-столбец размером m x 1.

Квадратная матрица задачи для контрольных заданий. - student2.ru - называется единичной матрицей.

Матрица Ат, которая получается из данной матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной к А:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Произведением матрицы А=(аij), имеющей m строк и k столбцов, на матрцуВ=(вij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=АВ=(сij), имеющая m строк и n столбцов, каждый элемент сij которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:

Сiji1в1ji2в2j+…+аikаkj

2.Определитель- это число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.

Обозначается D=detА= задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Определитель второго порядка:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Определитель третьего порядка:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (1)

Вычисляется по правилу треугольника. Схематически это выглядит так:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Минором Мij какого-либо элемента определителя n-го порядка называется определитель n-1 порядка, получаемый из данного определителя вычеркиванием i строки и j столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Например: задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru - миноры элементов a11 и a31 определителя D.

Алгебраическим дополнением Аij какого-либо элемента аij называется его минор Мij, умноженный на (-1)i+j,где i,j –номера строки и столбца элемента аij:

Aij=(-1)i+jMij (2)

Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство:

A-1A=AA-1=E

Если определитель D матрицы А не равен 0, то обратная матрица вычисляется по формуле:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , (3)

где задачи для контрольных заданий. - student2.ru - присоединенная матрица, составляется из алгебраических дополнений следующим образом:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (4)

1. Элементарными называются следующие преобразования матриц:

а) перестановка строк (столбцов),

б) умножение строк (столбцов) на число, отличное от 0,

в) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на число.

При помощи элементарных преобразований любую прямоугольную матрицу можно привести к ступенчатому виду. Схематично ступенчатая матрица изображена на рисунке:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Не заштрихованная часть матрицы занята нулями. В клетках, покрытых двойной штриховкой , стоят ненулевые элементы. Они называются угловыми элементами. Остальные элементы могут быть произвольными.

Число r угловых элементов ступенчатой матрицы В не зависит от способа приведения матрицы А к ступенчатому виду и называется рангом матрицы А. Обозначается r(А)=r(В)=r

3. Система 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными х123 имеет вид:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (5)

где аij – коэффициенты системы, bi- свободные члены.

Определитель 3-го порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Решение системы методом Крамера: Если определитель системы D не равен нулю, то решение находится по формулам Крамера:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , (6)

где определители D1, D2, D3 вычисляются следующим образом:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Систему (5) можно записать в матричной форме:

АХ=В , (7)

где задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Решение системы (1) матричным способом: Если определитель системы D не равен 0, то решение системы имеет вид:

Х=А-1В (8)

4 .Вектором называется отрезок с определенным на нем направлением.

Обозначается задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Координатами вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru в прямоугольной системе координат в пространстве называются его проекции на оси координат Ох, Оу, Оz.

Обозначается задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Х= прОх задачи для контрольных заданий. - student2.ru21

У= прОу задачи для контрольных заданий. - student2.ru21 (9)

Z= прОz задачи для контрольных заданий. - student2.ru =z2-z1,

где точка А(х11,z1)-начало вектора, В(х22,z2)- конец вектора.

Длина вектора вычисляется по формуле:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (10)

Вектор может быть разложен по базису задачи для контрольных заданий. - student2.ru , т.е. представлен в виде:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

5.Скалярным произведением двух векторов задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется число, определяемое равенством:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru = задачи для контрольных заданий. - student2.ru , (11)

где задачи для контрольных заданий. - student2.ru - угол между векторами задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Выражение скалярного произведения двух векторов через координаты векторов:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru = задачи для контрольных заданий. - student2.ru , (12)

где задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru

7. Векторным произведением двух векторов задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется вектор

1) задачи для контрольных заданий. - student2.ru длина его вычисляется по формуле

задачи для контрольных заданий. - student2.ru = задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

задачи для контрольных заданий. - student2.ru -угол между векторами задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

2) вектор задачи для контрольных заданий. - student2.ru перпендикулярен векторам задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

3) векторы задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru образуют правую тройку.

Выражение векторного произведения через координаты векторов задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru :

задачи для контрольных заданий. - student2.ru = задачи для контрольных заданий. - student2.ru , (13)

где Х11,Z1- координаты вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru , Х22,Z2- координаты вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

задачи для контрольных заданий. - student2.ru Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru : Sпар-ма= задачи для контрольных заданий. - student2.ru

8. Смешанным произведением трех векторов задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется число, равное скалярному произведению вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru и векторного произведения задачи для контрольных заданий. - student2.ru х задачи для контрольных заданий. - student2.ru :

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru = задачи для контрольных заданий. - student2.ru ( задачи для контрольных заданий. - student2.ru х задачи для контрольных заданий. - student2.ru )

Выражение смешанного произведения векторов через их координаты:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru = задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

где Х11,Z1- координаты вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru , Х22,Z2- координаты вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru , Х33,Z3- координаты вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Модуль смешанного произведения векторов задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru 9.Общее уравнение плоскости S имеет вид:

Ах+Ву+Сz+D=0 (14)

Где задачи для контрольных заданий. - student2.ru - нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М000,z0), М111,z1), М222,z2) имеет вид:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (15)

Угол между двумя плоскостями S1 и S2 определяется как угол между их нормальными векторами задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru , определяется из формулы:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (16)

10.Уранения прямой в пространстве, проходящей через две точки М000,z0), М111,z1) имеют вид:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (17)

Пример 1. По координатам вершин пирамиды А1(2,-3,1), А2(-1,-4,2), А3(4,-1,2), А4(3,-4,2) найти: 1.длины ребер А1А2 и А1А3; 2. угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3. площадь грани А1А2А3; 4. объем пирамиды А1А2А3А4.

Р е ш е н и е.

1.Находим векторы задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Длины этих векторов, т.е. длины ребер А1А2 и А1А3 таковы:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

2. Скалярное произведение векторов задачи для контрольных заданий. - student2.ru находим по формуле (12):

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Косинус угла между векторами находим по формуле:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

3. Площадь грани А1А2А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах задачи для контрольных заданий. - student2.ru , т.е. половине длины векторного произведения этих векторов:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

4) Объем V пирамиды равен задачи для контрольных заданий. - student2.ru объема параллелепипеда, построенного на векторах задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Координаты вектора задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Пример 2. Найти угол между плоскостью Р1, проходящей через точки А1(2,-3,1),А2(-1,-4,2),А3(4,-1,2) и плоскостью Р2, проходящей через точки А124(3,-4,2).

Р е ш е н и е. Находим уравнения плоскостей Р1 и Р2 по формуле (16):

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

(x-2)(-3)-(y+3)(-5)+(z-1)(-4)=0

3x-5y+4z-25=0-уравнение плоскости Р1, задачи для контрольных заданий. - student2.ru - нормальный вектор плоскости Р1.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (x-2)0-(y+3)(-4)+(z-1)4=0 y+z+2=0- уравнение плоскости Р2, задачи для контрольных заданий. - student2.ru - нормальный вектор плоскости Р2.

Угол задачи для контрольных заданий. - student2.ru между плоскостями находим по формуле (17)

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А1(2,-3,1) и А2(-1,-4,2).

Р е ш е н и е. Используя формулу (12), получаем:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru -уравнение искомой прямой.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Р е ш е н и е. Находим определитель системы:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Так как D задачи для контрольных заданий. - student2.ru 0, то решение системы находим по формулам Крамера:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Находим D1,D2,D3:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Получаем решение системы: задачи для контрольных заданий. - student2.ru \= задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Пример 5. Дана система линейных уравнений задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Найдем решение системы уравнений методом Гаусса. Разделим первое уравнение на 2. Затем умножим обе части этого уравнения на (-3) и прибавим их к соответствующим частям третьего уравнения, и, умножив на (-5), прибавим к соответствующим частям третьего уравнения. В результате получим систему:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Разделим обе части второго уравнения на 7/2, после этого умножим обе части полученного второго уравнения на (-15/2) и сложим их с соответствующими частями третьего уравнения, в результате получим систему:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Из последнего уравнения находим z=3, затем из второго найдем у=-2, из третьего найдем х=1.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Л и т е р а т у р а: [1], гл. 4; [3], гл. 3; [4], гл. II; [5], гл. VI; [6], гл. IV.

1.Полярная система координат представляет собой полюс О и полярную ось ОЕ с выбранным на ней масштабом. задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru Произвольная точка М в полярной системе координат имеет две координаты ( задачи для контрольных заданий. - student2.ru ), где задачи для контрольных заданий. - student2.ru - полярный радиус, задачи для контрольных заданий. - student2.ru - полярный угол.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru Рассмотрим полярную и прямоугольную системы координат такие, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ох.

Прямоугольные координаты (х,у) точки М и ее полярные координа-

ты ( задачи для контрольных заданий. - student2.ru ) связаны соотношениями:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru (1) 2. Определение конечного предела в точке:

Число А называется пределом функции задачи для контрольных заданий. - student2.ru при задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если для любого задачи для контрольных заданий. - student2.ru существует задачи для контрольных заданий. - student2.ru такое, что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству задачи для контрольных заданий. - student2.ru , выполняется неравенство: задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Обозначим задачи для контрольных заданий. - student2.ru или задачи для контрольных заданий. - student2.ru при задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Функция задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется бесконечно малой при задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Функция задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется бесконечно большой при задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Две функции задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru одновременно стремящиеся к нулю или к бесконечности при задачи для контрольных заданий. - student2.ru , называются эквивалентными, если задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Обозначим задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменяется, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru . (19)

3. К основным элементарным функциям относятся:

1) Степенная функция задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

2) Показательная функция задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

3) Логарифмическая функция задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

4) Тригонометрическая функция задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

5) Обратные тригонометрические функции: задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Предел элементарной функции в точке, принадлежащей области определения функции равен ее значению в этой точке, т.е. задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

При вычислении пределов могут получаться неопределенности вида: задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1) Сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2) Деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (при задачи для контрольных заданий. - student2.ru );

3) Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

4) Использование двух замечательных пределов;

задачи для контрольных заданий. - student2.ru - I замечательный предел

задачи для контрольных заданий. - student2.ru - II замечательный предел

Отметим также, что: задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,число

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

4. Функция задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется непрерывной в точке задачи для контрольных заданий. - student2.ru , если:

1) функция определена в точке задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

2) существуют конечные односторонние пределы функции:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

3) односторонние пределы равны:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

4) предельное значение функции в точке задачи для контрольных заданий. - student2.ru равно ее значению задачи для контрольных заданий. - student2.ru : задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Обозначим задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Точка задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется точкой устранимого разрыва, если задачи для контрольных заданий. - student2.ru (нарушается условие 4).

Точка задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но задачи для контрольных заданий. - student2.ru (нарушается условие 3).

Точка задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется точкой разрыва второго рода, если не существует хотя бы один из односторонних пределов (нарушение условия 2).

5. Выражение вида задачи для контрольных заданий. - student2.ru называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно) задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru - мнимая единица,

задачи для контрольных заданий. - student2.ru - действительная часть, задачи для контрольных заданий. - student2.ru - мнимая часть комплексного числа задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru - модуль и аргумент числа задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Если известны действительная x и мнимая часть задачи для контрольных заданий. - student2.ru , то задачи для контрольных заданий. - student2.ru находим по формулам: задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Если известны задачи для контрольных заданий. - student2.ru и задачи для контрольных заданий. - student2.ru , то x, y находим по формулам: задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.)

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Извлечение корня n-й степени (n-натуральное число) из числа задачи для контрольных заданий. - student2.ru производится по формуле:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

где задачи для контрольных заданий. - student2.ru - арифметический корень из модуля 2, задачи для контрольных заданий. - student2.ru = 0, 1,2,…, n-1.

6. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

задачи для контрольных заданий. - student2.ru Если r – радиус окружности, а точка С (a, в) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru 7. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F1(с,0) и F2(-c,0), то получится простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru ,

где задачи для контрольных заданий. - student2.ru - большая полуось,

задачи для контрольных заданий. - student2.ru - малая полуось.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru и с (половина расстояния между

фокусами) связаны соотношением задачи для контрольных заданий. - student2.ru

8. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru Если поместить фокусы гиперболы в точки F1(-c, 0) и F2(c, 0), то получится каноническое уравнение гиперболы: задачи для контрольных заданий. - student2.ru , где задачи для контрольных заданий. - student2.ru - действительная полуось, задачи для контрольных заданий. - student2.ru - мнимая полуось, задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru , с связаны соотношением задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

задачи для контрольных заданий. - student2.ru 9. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая задачи для контрольных заданий. - student2.ru , а фокусом – точка

F задачи для контрольных заданий. - student2.ru , то уравнение параболы имеет вид: задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

В зависимости от расположения фокуса и директрисы парабола имеет следующий геометрический вид и уравнение:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

10. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Охy к новой системе О1х1y1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Если (х0, y0) – координаты начала координат О1 новой системы в старой системе координат,

задачи для контрольных заданий. - student2.ru (х, y) – координаты произвольной точки М в старой системе Охy, задачи для контрольных заданий. - student2.ru - координаты точки М в новой системе Ох1y1, то следующие формулы позволяют находить старые координаты х и y по известным новым задачи для контрольных заданий. - student2.ru и наоборот: задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости числа:

1) задачи для контрольных заданий. - student2.ru , 2) задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Записать число задачи для контрольных заданий. - student2.ru в тригонометрической, а число задачи для контрольных заданий. - student2.ru - в алгебраической форме.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru Р е ш е н и е. 1) Для числа задачи для контрольных заданий. - student2.ru имеем задачи для контрольных заданий. - student2.ru , задачи для контрольных заданий. - student2.ru . Откладывая по оси Ох задачи для контрольных заданий. - student2.ru , а по оси Оy задачи для контрольных заданий. - student2.ru , получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Запишем число задачи для контрольных заданий. - student2.ru в тригонометрической форме: Модуль числа находим по формуле

задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Аргумент определяем по формуле: задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Так как число задачи для контрольных заданий. - student2.ru четверти, то задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Тригонометрическая форма задачи для контрольных заданий. - student2.ru имеем вид: задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

задачи для контрольных заданий. - student2.ru 2) Модуль числа задачи для контрольных заданий. - student2.ru равен задачи для контрольных заданий. - student2.ru , а аргумент задачи для контрольных заданий. - student2.ru . Для изображения этого числа на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом задачи для контрольных заданий. - student2.ru к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной задачи для контрольных заданий. - student2.ru . Полученная точка соответствует числу задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Его действительная часть задачи для контрольных заданий. - student2.ru , а мнимая часть задачи для контрольных заданий. - student2.ru . Таким образом, алгебраическая форма числа задачи для контрольных заданий. - student2.ru имеем вид задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Пример 2. Вычислить задачи для контрольных заданий. - student2.ru (см. пример 9).

Р е ш е н и е. Используя формулу, получаем

задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru задачи для контрольных заданий. - student2.ru =0, 1, 2

При задачи для контрольных заданий. - student2.ru =0 задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

При задачи для контрольных заданий. - student2.ru =1 задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

При задачи для контрольных заданий. - student2.ru =2 задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Пример 3. Привести уравнение кривой второго порядка задачи для контрольных заданий. - student2.ru к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат. Определить вид кривой и построить ее график.

Р е ш е н и е. Выделим в левой части полный квадрат по переменной х: задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

Делим левую и правую часть на 9:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru - это уравнение эллипса.

задачи для контрольных заданий. - student2.ru Чтобы записать уравнение в каноническом виде, нужно осуществить параллельный перенос, т.е. перейти к новым координатам: задачи для контрольных заданий. - student2.ru .

Получим каноническое уравнение эллипса:

задачи для контрольных заданий. - student2.ru

задачи для контрольных заданий. - student2.ru = 3 – большая полуось,

задачи для контрольных заданий. - student2.ru = задачи для контрольных заданий. - student2.ru - малая полуось.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ.

I. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1)длины ребер А1А2 и А1А3; 2)угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3)площадь грани А1А2А3; 4)объем пирамиды; 5)уравнения прямых А1А2 и А1А3; 6)уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4; 7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4.

1. А1(-1; 2; 1), А2(-2; 2; 5), А3(-3; 3; 1), А4(-1; 4; 3).

2. А1(-1; 1; -1), А2(-3; 1; 3), А3(-4; 2; -1), А4(-2; 3; 1).

3. А1(1; 1; 2), А2(0; 1; 6), А3(-1; 2; 2), А4(1; 3; 4).

4. А1(-1; -2; 1), А2(-2; -2; 5), А3(-3; -1; 1), А4(-1; 0; 3).

5. А1(2; -1; 1), А2(1; -1; 5), А3(0; 0; 1), А4(2; 1; 3).

6. А1(-1; 1; -2), А2(-2; 1; 2), А3(-3; 2; -2), А4(-1; 3; 0).

7. А1(1; 2; 1), А2(0; 2; 5), А3(-1; 3; 1), А4(1; 4; 3).

8. А1(-2; -1; 1), А2(-3; -1; 5), А3(-4; 0; 1), А4(-2; 1; 3).

9. А1(1; -1; 2), А2(0; -1; 6), А3(-1; 0; 2), А4(1; 1; 4).

10. А1(1; -2; 1), А2(0; -2; 5), А3(-1; -1; 1), А4(1; 0; 3).

II. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) решить систему методом Гаусса; 3) решить систему методом обратной матрицы.

11. задачи для контрольных заданий. - student2.ru 12. задачи для контрольных заданий. - student2.ru

13. задачи для контрольных заданий. - student2.ru 14. задачи для контрольных заданий. - student2.ru

15. задачи для контрольных заданий. - student2.ru 16. задачи для контрольных заданий. - student2.ru

17. задачи для контрольных заданий. - student2.ru 18. задачи для контрольных заданий. - student2.ru

19. задачи для контрольных заданий. - student2.ru 20. задачи для контрольных заданий. - student2.ru

III. Найти производную задачи для контрольных заданий. - student2.ru

21. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

22. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

23. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

24. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

25. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

26. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

27. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

28. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

29. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

30. а). задачи для контрольных заданий. - student2.ru б). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

в). задачи для контрольных заданий. - student2.ru г). задачи для контрольных заданий. - student2.ru д). задачи для контрольных заданий. - student2.ru

IV. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

31. а) задачи для контрольных заданий. - student2.ru б) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ; в) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

г) задачи для контрольных заданий. - student2.ru д) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

32. а) задачи для контрольных заданий. - student2.ru б) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ; в) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

г) задачи для контрольных заданий. - student2.ru д) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

33. а) задачи для контрольных заданий. - student2.ru б) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ; в) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

г) задачи для контрольных заданий. - student2.ru д) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

34. а) задачи для контрольных заданий. - student2.ru б) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ; в) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

г) задачи для контрольных заданий. - student2.ru д) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

35. а) задачи для контрольных заданий. - student2.ru б) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ; в) задачи для контрольных заданий. - student2.ru ;

Наши рекомендации