Пример выполнения задания 5

В пространстве даны точки А(-2; 0; 1), В(2; 1; 1), С(4; -1; 3), S(-1; 1; 0). Сделаем схематично чертеж пирамиды

	А

а) длину ребра АВ можно найти как длину вектора . Т.к.

,

то .

Уравнения ребра найдем как уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

.

В нашем случае

,

- канонические уравнения ребра АВ.

Замечание: форма записи канонических уравнений прямой является условной и в ней не деление на ноль, а отношение.

б) грань АВС образована векторами и , причем

.

Найдем векторное произведение этих векторов

(такой определитель лучше вычислять разложением по элементам первой строки).

Используя геометрическое свойство векторного произведения, получаем площадь грани АВС

.

В качестве нормального вектора плоскости АВС можно взять векторное произведение , но лучше предварительно его сократить на 2, т.е. получаем . Уравнение плоскости АВС найдем как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору :

.

В качестве точки М₀ можно взять любую из точек плоскости АВС, например точку А, тогда получаем

- общее уравнение плоскости АВС.

в) длину высоты SH можно найти как расстояние от точки S до плоскости АВС. Для этого общее уравнение плоскости приведем к нормальному виду. Т.к. - нормальный вектор плоскости,

- его длина,

- нормальное уравнение плоскости.

Подставим координаты точки S(-1; 1; 0) в полученное уравнение и возьмем модуль полученного числа

.

Так как - нормальный вектор плоскости АВС, то он является направляющим вектором высоты SH и уравнения высоты можно найти как уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору :

.

В нашем случае

- канонические уравнения высоты SH.

г) проекцией вершины S на плоскость АВС является точка Н, которую можно найти как точку пересечения плоскости АВС и прямой SH. Для этого канонические уравнения прямой SH приведем к параметрическим уравнениям

,

Подставим эти уравнения в уравнение плоскости АВС

Полученное значение t подставим в параметрические уравнения

т.е.

д) проекцией ребра АS на грань АВС является прямая АН, уравнения которой можно найти как уравнения прямой проходящей через две заданные точки:

.

Т.к. проекция проходит через точки А и Н, то ее уравнения имеют вид

- канонические уравнения проекции.

е) уравнения искомой прямой можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору т.е.

.

В нашем случае получаем

ж) вектор является нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение этой плоскости можно найти как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору :

.

В нашем случае

з) угол a между ребрами АВ и AS можно найти как угол между векторами и :

Т.к. , , то

и) Т.к. угол b между прямой и плоскостью находится по формуле

и - направляющий вектор прямой AS;

- нормальный вектор плоскости АВС, то

к) найдем нормальный вектор плоскости АВS

Т.к. , то

- нормальный вектор плоскости АВС.

Угол g между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами , ,

т.е.

В нашем случае

Получили , т.е. полученный угол g тупой. Две плоскости при пересечении образуют четыре угла - два тупых g и два острых g₁, причем , отсюда для острого угла g₁ получаем

.

л) координаты центра тяжести О пирамиды АВСS можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат вершин пирамиды, т.е.

т.е. - центр тяжести пирамиды.

м) Т.к. объем пирамиды можно вычислить по формуле

,

причем - площадь основания,

- высота пирамиды.

Получаем