Краткие теоретические сведения. 4 страница

Расстояние от точки Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru до прямой Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , заданной общим уравнением Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru на плоскости, находится по формуле:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Угол Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , ( Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ) между прямыми Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ; Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , если Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ,если Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Координаты точки пересечения прямых Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru находятся как решение системы линейных уравнений: Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru или Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Нормальным вектором плоскости Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , называется всякий ненулевой вектор Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru перпендикулярный данной плоскости.

Плоскость Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru в системе координат Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - общее уравнение плоскости, где Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - нормальный вектор плоскости;

2) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - уравнение плоскости, проходящей через точку Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru перпендикулярно данному вектору Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ;

3) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - уравнение плоскости, проходящей через три точки Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ;

4) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru -уравнение плоскости в отрезках, где Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - дины отрезков (со знаком Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ), отсекаемых плоскостью на координатных осях Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru (знак « Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru », если отрезок отсекается на положительной части оси и « Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru », если на отрицательной).

Расстояние от точки Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru до плоскости Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , заданной общим уравнением Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , находится по формуле:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Угол Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , ( Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ) между плоскостями Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , заданными общими уравнениями, находится по формуле:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , если Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , если Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Тема 9. Кривые второго порядка.

Алгебраической кривой второго порядка в системе координат Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru называется кривая Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , общее уравнение которой имеет вид:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ,

где числа Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка: 1) если Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ), эллипс (при Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ), пустое множество, точку); 2) если Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.

Общее уравнение Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:

1а) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru -уравнение окружности с центром в точке Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и радиусом Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru (рис. 5).

1б) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - уравнение эллипса с центром в точке Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru параллельными осям симметрии и центром в точке Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.

Для построения эллипса в системе координат Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru :1) отмечаем центр Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и сторонами Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6) .

Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru (рис. 5).

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Рис.5 Рис 6

2) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru параллельными осям симметрии и центром в точке Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru : 1) отмечаем центр гиперболы Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ; 2) проводим через центр Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и сторонами Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru (рис. 7) или гиперболы Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru (рис. 8).

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Рис.7 Рис.8

3а) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - уравнение параболы с вершиной в точке Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и осью симметрии, параллельной координатной оси Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru (рис. 9).

3б) Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - уравнение параболы с вершиной в точке Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru и осью симметрии, параллельной координатной оси Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru : 1) отмечаем вершину параболы Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ; 2) проводим через вершину Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru : при Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Рис. 9а Рис. 9б

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Рис. 10а Рис. 10б

Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Линейным неравенством называют неравенство вида: Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - некоторые числа, Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - координаты точки пространства Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru . Совокупность всех точек Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , координаты которых удовлетворяют неравенству, называют областью решений данного неравенства.

Для пространства Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru линейное неравенство имеет вид Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru . Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru делит плоскость Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru . Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой.Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.

Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ,

где Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - коэффициенты системы, Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - свободные члены системы. Совокупность всех точек Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , координаты Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru которых удовлетворяют каждому из неравенств, называют областью решенийсистемы неравенств.

Для пространства Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru система линейных неравенств имеет вид

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru .

Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств

Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.

Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называют задачу:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

или Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Канонической задачей линейного программирования называют задачу:

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Функция Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru называется целевой функцией; величины Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru называются переменными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru -мерный вектор Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.

Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , на которой целевая функция принимает постоянное значение Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru . Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru показывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор ( Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ) – направление наибольшего убывания.

Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ) и одну из линий уровня, например Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ), через которую проходит линия уровня Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru . В этом и состоит графический метод решенияЗЛП.

Примером экономической задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.

При производстве Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru видов продукции используется Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru видов ресурсов. Известны: Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - запасов ресурсов; Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru ) - расход Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru -ого вида ресурса на производство одной единицы Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru -ого вида продукции; Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - прибыль, получаемая от реализации одной единицы Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru -ого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru - объём выпуска Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru -ой продукции, который обеспечивает максимальную прибыль Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru . Математическая модель такой задачи имеет вид: Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

Краткие теоретические сведения. 4 страница - student2.ru

и является задачей линейного программирования.

Наши рекомендации