Погрешности арифметических операций

Приведем правила вычисления погрешности результата различных арифметических операций над приближенными числами [7].

Относительно алгебраической суммы u = x ± y можно утверждать следующее:

Теорема 1.2.Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.

D_u =D_x + D_y (1.13)

Из (1.13) следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых. Т.е., если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла.

Пример 1.12.Найти сумму приближенных чисел, все цифры в записи которых являются верными в широком смысле, и ее предельную абсолютную и относительную погрешности u = 0,259 + 45,12 + 1,0012.

Решение.Предельные абсолютные погрешности слагаемых здесь равны соответственно 0,001; 0,01; 0,0001.

Суммирование производим, руководствуясь следующим правилом [7]:

1) выделим наименее точные слагаемые (в нашем примере это второе слагаемое) и оставим их без изменения;

2) остальные числа округлим по образцу выделенных, оставляя один или два запасных знака;

3) сложим данные числа, учитывая все сохраненные знаки;

4) полученный результат округлим до точности наименее точных слагаемых. Имеем

D_u = 0,001 + 0,01 + 0,0001 = 0,0111;

u = 0,259 + 45,12 + 1,0012 ≈ 0,26 + 45,12 +1,00 = 46,38 ± 0,01.

Основной вклад в абсолютную погрешность результата здесь вносят предельные погрешности исходных данных, приведенные выше.

Теорема 1.3.Есливсе слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

(1.14)

При вычислении разности двух приближенных чисел u = x – y ее абсолютная погрешность, согласно теореме 2, равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т.е. D_u =D_x + D_y, а предельная относительная погрешность равна

(1.15)

Из (1.15) следует, что если приближенные значения x и y близки, то предельная относительная погрешность будет очень большой.

Пример 1.13.Найти разность x – y с тремя верными знаками, если
x = 12,1254 ± 0,0001, y = 12,128 ± 0,001.

Решение.Имеем 12,1254 – 12,128 = – 0,0026.

D_u = 0,0001 + 0,001 = 0,0011; δ_u = 0,0011/|–0,0026| = 0,42.

δ_x = 0,0001/12,1254 ≈ 0,000008; δ_y = 0,001/12,128 ≈ 0,00008.

Согласно этим результатам разность x – y имеет не более одной верной цифры и относительная погрешность очень велика по сравнению с относительными погрешностями операндов.

В некоторых случаях удается избежать вычисления разности близких чисел с помощью преобразования выражения так, чтобы разность была исключена. Рассмотрим один из таких примеров, искусственно придуманный.

Пример 1.14. Найти разность с тремя верными знаками.

Решение. Умножим и разделим на сопряженное. Получим

Если представляется сложным заменить вычитание близких приближенных чисел сложением, то следует поступать так: если известно, что при вычитании должно пропасть m первых значащих цифр, а в результате требуется сохранить верных n цифр, то тогда в уменьшаемом и вычитаемом следует сохранять m+n верных значащих цифр: .

Теорема 1.4.Предельная относительная погрешность произведения
u = x∙y приближенных чисел, отличных от нуля, равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т.е.

δ_u = δ_x + δ_y (1.16)

В частности, если u = kx, где k — точное число, имеем D_u = |k|D_x, δ_u = δ_x.

Пример 1.15.Определить произведение приближенных чисел x = 12,45и y = 2,13и число верных значащих цифр в нем, если все написанные цифры сомножителей — верные в узком смысле.

Решение.По условию предельные абсолютные погрешности сомножителей равны D_x = D_y = 0,005; δ_x = 0,005/12,45 = 0,0004; δ_y = 0,005/2,13 = 0,0023. Тогда по теореме 1.4 имеем δ_u = δ_x + δ_y = 0,0004 + 0,0023 = 0,0027 ≈ 0,003. Вычислим произведение 12,45∙2,13 = 26,5185. D_u = 26,5185∙0,003 ≈ 0,079 ≈ 0,08. Таким образом, результат имеет три верные значащие цифры в широком смысле и может быть записан в виде u = 26,5∙(1 ± 0,003).

Теорема 1.5.Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Пример 1.16. Вычислить частное приближенных чисел x = 12,45и y = 2,13и число верных значащих цифр в нем, если все написанные цифры сомножителей — верные в узком смысле.

Решение.Предельная относительная погрешность частного по теореме 1.5 равна δ_u ≈ 0,003. Вычислим частное 12,45:2,13 ≈ 5,84507.
D_u = 5,84507∙0,003 ≈ 0,0175 ≈ 0,02. Результат имеет две верные значащие цифры в узком смысле и может быть записан в виде u = 5,8∙(1 ± 0,003).