Тема 1.1.2 Равные множества. Круги Эйлера

Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества.

Пересечение, объединение, разность множеств.

(1ч.)

Равенство множеств. Ø.

Понятие равенства множеств совпадает с понятием равенства мешков. Равные множества отличаются только порядком элементов.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

(1ч.)

Подмножество. ,

1) ввести понятие подмножества как части множества. Научить использовать , .

2) Рассмотреть частные случаи А А, Ø А.

3) Разбиение множества на части (классы).

Понятие подмножества аналогично понятию части. Но есть и отличия. Говорить, что часть всегда меньше целого, в теории же множеств любое множество является подмножеством самого себя: А А, т.к. пустое множество не содержит элементов, то не может являться подмножеством (хотя в теории множеств Ø любому множеству).

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

Упражнения

1. Назовите три элемента множества:

а) учебных предметов, изучаемых в начальной школе;

б) четных натуральных чисел;

в) четырехугольников.

2. Запишите, используя символы:

а) Число 14 - натуральное;

б) Число -7 не является натуральным;

в) Число 0 - рациональное;

3. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них верные:

а) 100 N; г) 5,36 Q; ж) -7,3 R;

6)-8 Z; f)102 R; з) N;

4
B)-12 N; e) Q; и) 0 N.

4. Запишите множество букв в слове «математика» и множество цифр в записи числа 5125353.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элемен­ты, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А - {а, Ъ, с, d, е}, В - {b, d, k, т), С =, {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.

Рассмотрим теперь множества А = {а, Ъ, с, d, e} и В = {с, d, e}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А и пишут В А.

Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В явля­ется также элементом множества А. Пустое множест­во считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Определение. Множества А и В называются равными, ес­ли А В и В А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен. Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера1.

чертежей, кот-е наз-ся кругами ЭЙЛЕРА:

А б в г

Пример Определим, в каких отношениях находятся множества А и В. Изобразим эти отношения при помощи диа­грамм Эйлера—Венна, если:

а) А — множество гласных букв русского алфавита;
В - множество звонких согласных.

б) А — множество натуральных чисел, кратных 3;
В — множество натуральных чисел, кратных 9.

Решение, а) Поскольку множества А и В не имеют общих элементов, то они не пересекаются. Поэтому на диаграммах Эйле­ра— Венна они будут изображаться так, как два круга не имеющих общих точек.

б) Представим множества А и В в следующем виде:
А = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...};

В = {9, 18, 27, 36, ...}.

Из приведенных записей очевидно, что множества А и В пе­ресекаются. Кроме того, каждый элемент множества В принад­лежит множеству А, т.е. В С А. (рис.под буквой а)