Передача теплоты через цилиндрическую стенку

Граничные условия первого рода.Теплопроводность однослойной стенки. Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным d2=2r2.

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru На поверхностях стенки заданы постоянные температуры tc1 и tc2. В заданном интервале температур коэффициент теплопроводности материала стенки является постоянной величиной. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

При этом ось z совмещена с осью трубы. При заданных условиях температура изменяется только в радиальном направлении и температурное поле будет одномерным

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru и Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Так как температуры на поверхностях неизменны и изотермические поверхности имеют с трубой общую ось, то температура не должна изменяться вдоль Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru и Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

С учетом этого дифференциальное уравнение

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Граничные условия: при r=r1 t=tc1;

r=r2 t=tc2.

После решения дифференциального уравнения получается уравнение температурного поля цилиндрической стенки

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, объясняется следующим образом. Для плоской стенки плотность теплового потока остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянное значение. Для цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность зависит от радиуса.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность в единицу времени, воспользуемся законом Фурье

Q= Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Подставляя в уравнение закона Фурье значение градиента температуры, и учитывая, что F=2 Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru rl

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru ,

где Q измеряется в Вт. Видно, что количество теплоты, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, не зависит от радиуса.

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом плотность теплового потока через единицу внутренней поверхности, Вт/м2

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Тепловой поток через единицу наружной поверхности, Вт/м2

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Тепловой поток через единицу длины трубы, Вт/м

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, называется линейной плотностью теплового потока. Плотности теплового потока q1 и q2 при передаче теплоты через трубы неодинаковы, причем всегда q1 > q2.

Связь между линейной плотностью теплового потока и внутренними и наружными поверхностными плотностями теплового потока ql=πd2q2=πd1q1.

Граничные условия третьего рода (теплопередача).Теплопередача однослойной стенки.Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку с постоянным коэффициентом теплопроводности Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru . Заданы постоянные температуры подвижных сред tж1 и tж2 и постоянные значения коэффициента теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях трубы Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru и Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru . Необходимо найти tc1; tc2; ql.

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями с торцов трубы можно пренебречь.

При установившемся тепловом режиме количество теплоты, отдаваемое от горячей жидкости цилиндрической стенке по закону Ньютона-Рихмана

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через стенку

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Теплота, передаваемая от стенки к холодной жидкости

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Складывая уравнения, входящие в систему, получаем температурный напор

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Отсюда следует

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Обозначим

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

С учетом этого уравнение теплопередачи

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Величина kl называется линейным коэффициентом теплопередачи, Вт/(м∙К). Он характеризует интенсивность передачи теплоты от одной среды к другой через разделяющую стенку. Значение kl численно равно количеству теплоты, которое проходит через стенку длиной 1 м в единицу времени от одной среды к другой при разности температур между ними в 1К.

Величина, обратная линейному коэффициенту теплопередачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Тепловой поток со всей поверхности трубы

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Если тепловой поток через цилиндрическую стенку отнести к внутренней или наружной поверхности стенки, то получим плотность теплового потока, Вт/м2, отнесенную к единице соответствующей поверхности трубы

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru ,

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru ,

где Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru , Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Если толщина стенки цилиндра мала по сравнению с диаметром, т.е. Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru <2, тогда для технических расчетов можно пользоваться формулой коэффициента теплопередачи для плоской стенки.

Теплопередача через многослойную стенку. При теплопередаче через многослойную цилиндрическую стенку система равенств должна быть заменена системой, учитывающей сопротивление теплопроводности всех слоев

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Температуры на поверхностях многослойной стенки

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru ,

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru ,

Передача теплоты через цилиндрическую стенку - student2.ru .

Наши рекомендации