Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Составим разности значений функции:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Аналогично составляются разности k-го порядка:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Таким образом, для любого k можно записать:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Запишем эту формулу для значений разности в узле Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru :

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Используя конечные разности, можно определить

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

.
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Найдем отсюда коэффициенты Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru :

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Таким образом, для любого Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru -го коэффициента формула примет вид

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

В этом случае Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru на всем отрезке изменения аргумента Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , то есть использовать эту формулу для всех Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Для других случаев вместо Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru принять Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , если Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru при Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru вычисляются через значения функции Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , причем Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Из-за этого при больших значениях Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru мы не можем вычислить высших порядков Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , то есть Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , где функция Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru задана таблицей

х 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
у 0,1002 0,2013 0,8045 0,4108 0,5211

Решение.Составляем таблицу конечных разностей.

х у Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru
         
    0,1002        
0,1 0,1002   0,0009      
    0,1011   0,0012    
0,2 0,2013 0,0021   -0,0002  
    0,1032   0,0010   0,0001
0,3 0,3045   0,0031 -0,0001  
    0,1063   0,0009    
0,4 0,4108   0,0040    
    0,1103        
0,5 0,5211          

Для вычисления Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru тогда Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru и

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Пример. Задана таблица. Найти Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

х Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru 0,2588      
    0,0832    
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru 0,3420   -0,026  
    0,0806   0,0006
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru 0,4226   -0,032  
    0,0774   0,0006
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru 0,5   0,038  
    0,0736    
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru 0,5736      

При вычислении Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru положим

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

При вычислении Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru положим

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru где Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru и

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru где Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru ,

где Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Производя перемножение биномов, получим

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

так как Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , то

.
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru в основных табличных точках Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , имеем

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru ,

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru ,

где Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru функции Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , заданной таблично.

Решение.

х у Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru
1,6990      
    0,0414    
1,7404   -0,0036  
    0,0378   0,0005
1,7782   -0,0031  
    0,0347    
1,8129      

Здесь Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru ; Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Вычисляя погрешность, получим:

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Действительно, Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

Приложение

8. По заданным значениям Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru и Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru найти прямую Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru и параболу Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru методом наименьших квадратов. Найти погрешность. Построить прямую и кривую в той же системе координат, где нанесены данные точки.


9. 1) Заданы значения функции Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru в узлах Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru , получающиеся делением отрезка Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru на 5 частей. Найти значения функции Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru при Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru и Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru с помощью интерполяционных формул Ньютона.


Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru
0,1 1,0 1,1 0,9 0,9 0,8 1,1 1,0 1,2 1,2 1,1 0,8 0,8 0,8 1,1
1,2 2,1 2,2 2,0 1,9 2,0 2,2 2,1 1,8 2,0 1,9 2,0 2,2 1,8 2,2
1,4 2,9 3,2 3,0 3,2 2,9 3,2 3,1 3,2 3,0 3,2 2,8 2,9 2,9 3,0
1,6 3,8 4,2 3,8 3,8 4,2 4,2 3,8 4,1 3,8 3,8 4,0 4,0 4,0 4,1
1,8 5,2 5,2 5,1 5,1 5,2 5,1 5,2 5,2 5,0 4,9 5,2 5,2 4,9 4,9
2,0 5,9 6,0 5,8 6,1 5,8 5,9 6,2 6,1 6,1 5,8 6,0 5,8 6,1 5,9

2) Заданы значения Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru функции Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru в точках Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Найти значение функции Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru при Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru . Задачу решить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.

Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru
Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru Многочлен Ньютона с конечными разностями - student2.ru

Наши рекомендации