Решение матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий Аi, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий Вj, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно aij и -aij. Цель игрока А - максимизировать величину aij, а игрока В - минимизировать эту величину.

Определение 1. Матрица, составленная из величин aij, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru ,

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru

называется платежной матрицей, или матрицей игры. Каждый элемент платежной матрицы aij, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию Аi, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , а игрок В выбирал стратегию Вj, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Пример. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия): А1 (записать 1), А2 (записать 2), А3 (записать 3); у второго игрока также три стратегии: В1, В2, В3 (см. таблицу).

  В1 = 1 В2 = 2 В3 = 3
А1 = 1 -1 -2
А2 = 2 -1
А3 = 3

Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока - минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Платежная матрица имеет вид

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Задача каждого из игроков - найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию Аi, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Определение 2. Величина a - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия Aiопт, обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше a.

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии Вj, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru в худшем случае получит проигрыш Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru . Он выбирает стратегию Bjопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Определение 3. Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия Bjопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше b.

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a £ b.

Определение 4. Если a = b =v, т. е.

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru = Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru ,

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) оределяется числом v. Оно называется ценой игры.

Определение 5. Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы аiопт jопт = v, соответствующий паре оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность – решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru ,

a = a3 - нижняя цена игры.

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru ,

b = b3 - верхняя цена игры.

Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока – А3 , второго - B3. Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В3 увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в игре – это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Определение 7. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.

Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно – мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку.

Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Определение 1. Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m ´ n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru (x1, x2, ..., xm), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , xi ³ 0, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru (y1, y2, ..., yn), для координат которых выполняются условия

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru = 1, yj ³ 0, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Теорема 1. (Неймана. Основная теорема теории игр.) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: a £ v £ b.

Применение первым игроком оптимальной стратегии Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru , Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.

Определение 2. Дублирующими называются стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.

Определение 3. Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k-й строки, то
i-я стратегия игрока А называется доминирующей над k-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-го столбца, то j-я стратегия игрока В называется доминирующей над k-й стратегией.

Пример.Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

a = max (2, 2, 3, 2) = 3, b = min (7, 6, 6, 4, 5) = 4, a ¹ b, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Все элементы стратегии А2 меньше элементов стратегии А3, т.е. А2 заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить. Все элементы А4 меньше А3, исключаем А4.

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Для второго игрока: сравнивая В1 и В4, исключаем В1; сравнивая В2 и В4, исключаем В2; сравнивая В3 и В4, исключаем В3. В результате преобразований получим матрицу

Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

a = max (2, 3) = 3, b = min (4, 5) = 4, a ¹ b, Решение матричной игры в чистых стратегиях - student2.ru .

Наши рекомендации