Теоремы сложения вероятностей.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость не проходит через начало координат, а отсекает от осей координат соответственно отрезки a, b, c. Как видно из рисунка 4.10, плоскость проходит через точки M(a,0,0), N(0,b,0) и R(0,0,c).

Рисунок 4.10

Пусть общее уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0 (4.31)

Подставим в это уравнение координаты точек M, N и R, получим:

(4.34)

Так как плоскость не проходит через начало координат, то D≠ 0. Так как плоскость отсекает от осей координат ненулевые отрезки, то A≠ 0, B≠ 0, C≠ 0. Тогда из (4.34) имеем: Подставив эти значения в уравнение (4.31), получим: Так как D≠0, то все члены последнего равенства можно разделить на (-D). Получим: или (4.35). Уравнение (4.35) и есть уравнение плоскости в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости в трехмерном пространстве будет вполне определено, если известно ее расстояние P от начала координат O, т.е. длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O на плоскость, и единичный вектор , перпендикулярный к плоскости. По условию, . Для любой точки M(x,y,z), лежащей на плоскости, имеем (рисунок 4.11): . С другой стороны, по определению скалярного произведения двух векторов имеем: или (4.36)

Уравнение (4.36) называется векторным уравнением плоскости. Одновременно уравнение (4.36) называется нормальным уравнением плоскости. Пусть теперь единичный вектор образует с осями координат соответственно углы α, β, γ. Тогда имеет своими координатами направляющие косинусы, т.е. . Далее, вектор . Тогда получим скалярное произведение векторов:

При этом уравнение (4.36) примет вид:

(4.37)

Уравнение (4.36) называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости в координатной форме. Замечание: как и в случае нормального уравнения прямой, в рассматриваемом случае уравнение (4.37) можно получить, используя теорию проекций.

Первый замечательный предел

Теорема

(раскрывает неопределенность типа ).

Доказательство.

Возьмем круг единичного радиуса и положим . X – угол выраженный в радианах.

Обозначим площади треугольника ОАВ через– S_1, треугольника ОАС – S₂, площадь сектора ОАВ – через S.

Неравенство (1) получено для однако cos x и функции четные ,т.к. cos (-x) = cos x.

т.е. (1) справедливо и для т.к. , то из (1) на основании теоремы 5 заключаем

3) Основные теоремы о пределах и их применения.

Теорема 1. Для того, чтобы число A было пределом функции f(x) при x®a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде: f(x) = A+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция.

Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3. Если функция ³0 (£0) для любых х в некоторой окрестности точки а, кроме быть может самой точки а, и в точке а имеет предел, то

Теорема 4. Если функции и имеют пределы при x®a, то при x®a имеют пределы их сумма + произведение и при условии, что частное причем (1)

(2)

(3)

Доказательство. Ограничимся доказательством формулы (1).

Пусть , тогда по теореме 1:

где

Отсюда

По свойству бесконечно малых (1) α(x) + β(x) – бесконечно малая, следовательно, по теореме (1):

.

Следствие 1. Если функция f(x) имеет предел при x → a, то:

,

где n – натуральное число.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, c = const.

Теорема 5. Если для функций f(x), f₁(x) и f₂(x) в некоторой окружности точки a выполняется неравенство

и(4)

, то

Доказательство.

Из определения предела следует, что , ,

(5)

(5)

Из неравенств (4) и (5) имеем:

, откуда .

Аналогично, из (4) и (6) имеем:

, откуда , т.е.

или , т.е.

.

5)Рассмотрим функцию . Дадим аргументу приращение и найдём приращение функции: . Поэтому

(Можно доказать эту формулу и так:

Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции получаем: , откуда

(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:

Такие же вычисления для функции при целом можно провести, разложив по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула

И таблица..

6)При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции:

Правило дифференцирования сложной функции:

Правило логарифма при дифференцировании функции:

Вывод правила.

1.

Доказательство

7) Производной функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀)по направлению l называется число

(1) . Эта формула может быть представлена в виде: (2). Пусть в некоторой области G плоскости XOYзадана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (2). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f(x,y)в точке M₀(x₀,y₀):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси , равный a.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y)по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M₀(x₀,y₀) может быть вычислена по формуле

(5)

Здесь b ‑ угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что .

8)Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде

, (1)

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых . Тогда, разделив обе части уравнения на , получим

.

Общим интегралом уравнения будет

.

1. При проведении почленного деления дифференциального уравнения на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения.

2. Уравнение также сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого положим . Умножим обе части на dx и разделим переменные.

3. Уравнение , где a,b,c – числа, путем замены сведется к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Дифференцируя по x, получим .

Данное уравнение примет вид:

,

или

,

.

Интегрируя это уравнение и заменяя u на , получим общий интеграл исходного уравнения.

Теоремы сложения вероятностей.

Теорема 1: Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (2.7)

Доказательство:

n – число всех исходов испытаний.

m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.

m₂ – число испытаний, благоприятствующих наступлению события В.

Р(А + В) = = + = Р(А) + Р(В).

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n) (2.8)

Теорема 2:Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Доказательство:

Пусть А₁,А₂, …, А_n – полная группа событий. Тогда наступление одного из этих событий – событие достоверное, т.е. Р(А₁ + А₂ + … +А_n) = 1. Но по теореме сложения несовместных событий можно записать:

Р(А₁) + Р(А₂) + … Р(А_n) = 1. (2.9)

Следствие из теоремы:

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А₁) + Р(Ā) = 1.

Это действительно так, т.к. противоположные события образуют полную группу.

Обозначим: Р(А) = р и Р(Ā) = q, тогда

p + q = 1. (2.10)

Теорема 3: Если события совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (2.11)

Доказательство:

m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.

m₂ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события В.

m₃ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению совместных событий АВ.

n – число всех исходов испытаний.

Р(А + В) = = = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Что и требовалось доказать.

10) Теорема умножения: Вероятность произведения событий равна вероятности одного из этих событий, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло.

Р(А  В) = Р(А)  Р_А(В). (2.1)

Доказательство:

n – число всех исходов испытания.

m – число исходов, благоприятствующих наступлению события А.

к – число исходов, благоприятствующих наступлению события В, при условии, что А имело место, т.е. к – число исходов, когда А и В наступили вместе.

Поэтому Р(А  В) = = = = P(A)  P_A(B).

Теорема умножения вероятностей обобщается на случай произвольного числа событий:

Р(АВСD) = Р(А)· Р_А(В) ·Р_АВ(С) · Р_АВС(D), (2.2)

т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Следствия.

1). Если события независимы, то вероятность события В, при условии, что А наступило.

Р_А(В) = Р_Ā(В) = Р(В). (2.3)

Р_В(А) = Р (A) = P(A).

2). Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ) = Р(А)  Р(В)

Доказательство:

Р(АВ) = Р(А)  Р_А(В) = Р(А)  Р(В).

3). Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А₁  А₂  . . .  А_n) = Р(А₁)  Р(А₂)  . . .  Р(А_n). (2.4)

Если события А₁, А₂, …, А_n независимы в совокупности, причем Р(А₁) = р₁, Р(А₂) = р₂, … , Р(А_n) = р_n, и в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одного из них, то вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , ,…, :

Р(А) = 1 - … . (2.5)

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна

Р(А) = 1 - .

11)Теорема: Если_Вероятность ρ наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность P_k,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где q = 1-p

Доказательство._Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим A_i — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться kраз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

где q = 1-p