Спектр синусоїдного сигналу

Спектральний аналіз – це знаходження усіх гармонійних складових з відповідними частотами, які входять до складу даного сигналу і в підсумку відтворюють його.

Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) дозволяє визначити спектр дискретизованого, обмеженого по тривалості сигналу, який зафіксований своїми вибірковими (дискретними) значеннями.

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru (2.2.1)

Спектр, який є дискретним(поданий у певних частотах у вигляді решітчастої функції, коли на відповідних частотах подаються лінії відповідних амплітуд – лінії спектру). Будуючи комплексні величини ( маючи Re і Im) спектр може бути поданий у експоненціальній формі коли амплітуда експоненти зветься амплітудно-частотною характеристикою(або амплітудним спектром), а фаза експоненти(комплексний спектр) – фазово-частотною характеристикою(або фазовим спектром).

Спектр, для обмеження по тривалості функції задається на інтервалі частот, який дорівнює частоті дискретизації часового сигналу.

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

(2.2.2)

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

(2.2.3)

Поданий на інтервалі, що дорівнює частоті дискретизації числом своїх дискрет (ліній спектру), яке рівне N. N – число точок дискретизації.

Крок подачі ліній спектру визначається, як різниця між двома сусідніми частинами ліній спектру.

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru (2.2.4)

Амплітуда часового сигналу на 0-ій частоті:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Амплітуда ліній спектру на інших частотах:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

У цьому випадку сигнал Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru буде таким:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru (2.2.5)

і може бути поданий з використанням формул Ейлера як різниця експоненціальних функцій, тобто як

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru (2.2.6)

а ДПФ обох функцій в (2.2.6) вираховується окремо для кожної з них. Для першої складової в (2.2.6) спектр визначається згідно з виразом (1.6.11), а для другої складової рівняння отримуємо із тих же міркувань, але як зміщену ліворуч функцію, тобто:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru (2.2.7)

Таким чином, спектр синусоїди, вибірки якої подані у межах прямокутного вікна, визначається як різниця рівнянь (1.6.11) та (2.2.7):

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru (2.2.8)

і яке знову дає обвідну дискретного спектру. Амплітуди ліній спектру визначаються двома способами:

1) із рівняння (2.2.8) розраховують обвідну і далі з кроком Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru по ній будують окремі лінії спектру;

2) обвідна ігнорується, а розрахунки безпосередньо виконуються по формулі для ДПФ при конкретних значеннях Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru :

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Розрахунки

Завдання №1:

1. Враховуючи вираз для поліному Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru запишемо суму квадратів відхилень як:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

2. Знайдемо значення коефіцієнтів при яких значення цього квадратичного відхилення було б мінімальним:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

3. Підставивши у цю систему вираз для I і знайшовши відповідні похідні отримаємо наступну систему:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

4. Зробимо заміну:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Тоді наша система матиме вигляд:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

5. Підставивши ці значення у систему, отримаємо

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

6. Отримаємо згладжуючий поліном:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru


Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru 0,2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru -0.8 -0.6 0.2 0.7 0.9 1.4 0.8 0.4 0.1 -0.2
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru -0.04 0.033 0.107 0.18 0.253 0.327 0.4 0.473 0.547 0.62
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru 0.76 0.633 0.093 0.52 0.647 1.073 0.4 0.073 0.447 0.82

Максимальне значення абсолютної похибки:

Max( Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru )=1.073

Квадратичне відхилення при цьому:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Графік заданої ( Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru ) та апроксимованої функцій (Р(n)) Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Завдання №2

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru гц …. ….
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru
Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru град -180 -90 -90 -180

Амплітуда сигналу на 0-ій частоті вираховується згідно з наступним співвідношенням: Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Амплітуда сигналу на інших частотах вираховується в згідно з наступним співвідношенням: Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Так як для 2 складової наявний повтори з від’ємної області частот з тією ж амплітудою і фазою, і оскільки значення фази головних складових -180, то робимо висновок, що це є косинусоїда зі знаком «-».

Так як для 10 складової наявний повтор з від’ємної області частот з тією ж амплітудою, але протилежною фазою, і оскільки значення фази головних складових 90, то робимо висновок, що це є синусоїди зі знаком «-».

Так як для 40 складової наявний повтор з від’ємної області частот з тією ж амплітудою, але протилежною фазою, і оскільки значення фази головних складових -90, то робимо висновок, що це є синусоїди зі знаком «+».

Запишемо аналітичний вираз для часового сигналу Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru ; Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru з урахуванням фазової складової спектру:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Частота дискретизації – Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Період дискретизації – Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Кількість дискрет– Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Інтервал визначення – Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Графічна інтерпретація заданого спектру:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru

Висновки

1. Було проведено згладжування даних за допомогою полінома Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru Ми отримали згладжуючий поліном: Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru Максимальне значення абсолютної похибки: 1.073. Квадратичне відхилення при цьому: Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru . Проте як бачимо згладження поліномом 1 степені є не ефективним, так як він не відтворює гармонічні складові сигналу (поліном першої степені – пряма лінія).

2.Було проведено відновлення дискретизованого часового сигналу

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru по його заданому спектру. Записано аналітичний вираз сигналу:

Спектр синусоїдного сигналу - student2.ru . Побудовано графік спектру.

Наши рекомендации