Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений

Достаточно часто для описания исследуемых процессов не достаточно одного дифференциального уравнения, поэтому используется их совокупность.

Совокупность Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru линейных дифференциальных уравнений первого порядка с Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru неизвестными функциями Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru от одной независимой переменной Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru :

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

где коэффициенты Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru и свободные члены Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ( Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ) являются функциями от Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , называется системой линейных дифференциальных уравнений. Если уравнения системы решены относительно производных, то система линейных дифференциальных уравнений называется нормальной.

Если коэффициенты системы являются постоянными величинами, то такая система называется системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru система называется однородной, в противном случае Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru неоднородной.

Общим решением системы дифференциальных уравненийназывается совокупность Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru функций, которые зависят от независимой переменной Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru и Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru произвольных постоянных Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru :

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

которые удовлетворяют все уравнения системы.

Если независимую переменную обозначить через Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , то система принимает вид Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , где Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru – производная первого порядка по аргументу Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Задача Коши для системы дифференциальных уравненийзаключается в определении такого решения системы, которое удовлетворяет начальные условия: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , ... , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Методы решения системы дифференциальных уравнений

Одним из способов решения системы есть метод исключения, который предусматривает исключение Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru неизвестных функций, в результате чего система сводится к дифференциальному уравнению Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru -го порядка относительно одной из неизвестных функций.

Пример 1.

Найдем решение системы дифференциальных уравнений:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

Это нормальная система линейных дифференциальных уравнений. Применим для ее решения метод исключения. Продифференцируем первое уравнение системы: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Учитывая второе уравнение, имеем:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

По первому уравнению системы определяем, что Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

тогда: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Следовательно, для определения функции Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru мы получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru . Отсюда определяем корни: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Теперь записываем общее решение для функції Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru :

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Теперь находим функцию Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , подставив в первое уравнение системы Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru и Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , но сначала найдем Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru : Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , или Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Следовательно, общее решение системы дифференциальных уравнений: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Рассмотрим еще один метод решения системы дифференциальных уравнений, который называется алгебраическим.

Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

где Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru – постоянные величины, Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru – неизвестны функции Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Систему можно записать как матричное уравнение:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Частные решения системы будем искать в виде совокупности показательных функций: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , ..., Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , где Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru неопределенные постоянные, которые нужно найти.

Подставляя эти функции в систему и сокращая на множитель Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , получим систему линейных уравнений относительно Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru :

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

Найдем определитель этой системы:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Если Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru такое, что определитель Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , то система уравнений имеет только тривиальное решение: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Нетривиальное решение система будет иметь лишь при таких Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , при которых определитель этой системы будет равен нулю.

Следовательно, для определения Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru мы приходим к уравнению Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru -го порядка:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Это уравнение называется характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений, его корни – корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим только случай, когда корни характеристического уравнения действительные и разные.

Для каждого корня Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru записывают систему и определяют коэффициенты Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru . Поскольку ранг матрицы системы равен Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , то один из коэффициентов можно выбрать произвольно. Будем считать его равным единице.

Тогда получаем частные решения системы:

для Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru : Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , ..., Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ;

для Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru : Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , ..., Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ;

…………………………………………………………….

для Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru : Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , ..., Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Систему Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru частных решений

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

называют фундаментальной системой решений на интервале Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , если определитель

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

не равен нулю.

Соответственно, общее решение системы имеет вид:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

……………………………………..

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru – произвольные постоянные.

Пример 2.

Найдем общее решение системы дифференциальных уравнений:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

Будем искать частые решения этой системы в виде Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru и Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru . Для определения неизвестных коэффициентов Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru этих функций составляем характеристическое уравнение:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

откуда

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Корни уравнения Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

При Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru система принимает вид: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

Отсюда Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Пусть Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , тогда Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Следовательно, имеем решения: Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

При Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru система имеет вид:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru

Отсюда Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru . Считая Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , получим Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru . Тогда:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Таким образом, мы получили фундаментальную систему решений:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru , Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Следовательно, общее решение системы имеет вид:

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru ,

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений - student2.ru .

Наши рекомендации