Изображение функции Дирака

Рассмотрим важную для приложений газонефтепромысловой Механики функцию Дирака.

Определим функцию

Изображение функции Дирака - student2.ru

график которой представлен на рис. (10.3.)

Эту функцию можно рассматривать как силу величины Изображение функции Дирака - student2.ru действующую время Изображение функции Дирака - student2.ru , импульс ее за это время равен 1 при любом Изображение функции Дирака - student2.ru .

Введем предел Изображение функции Дирака - student2.ru этой функции при Изображение функции Дирака - student2.ru , который можно считать силой, бесконечно большой при Изображение функции Дирака - student2.ru и равной нулю для всех t > 0, но импульс ее по-прежнему равен 1. Эта функция называется импульсной функцией нулевого порядка или Изображение функции Дирака - student2.ru -функцией или функцией Дирака.

Итак, Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение этой функции естественно определить как предел изображения Изображение функции Дирака - student2.ru при Изображение функции Дирака - student2.ru

Имеем Изображение функции Дирака - student2.ru

Тогда Изображение функции Дирака - student2.ru .

Изображение функции Дирака - student2.ru

Рис. 10.3 Рис. 10.4

Полученную функцию Изображение функции Дирака - student2.ru можно считать изображением лишь условно, так как она не стремится к нулю при Изображение функции Дирака - student2.ru Но для нее имеют место основные теоремы операционного исчисления. Например, применяя теорему запаздывания, можно получить

Изображение функции Дирака - student2.ru

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с Изображение функции Дирака - student2.ru -функцией, важные для приложений.

Обозначим

Изображение функции Дирака - student2.ru

Очевидно, что

H Изображение функции Дирака - student2.ru

График функции H Изображение функции Дирака - student2.ru представлен на рис. (10.4). Кроме того имеем

Изображение функции Дирака - student2.ru

При Изображение функции Дирака - student2.ru как мы уже видели, Изображение функции Дирака - student2.ru стремится к Изображение функции Дирака - student2.ru -функции. Для нее справедливо по-прежнему соотношение Изображение функции Дирака - student2.ru Функция H Изображение функции Дирака - student2.ru при Изображение функции Дирака - student2.ru превращается в единичную функцию Изображение функции Дирака - student2.ru :

Изображение функции Дирака - student2.ru = Изображение функции Дирака - student2.ru

и таким образом производная Изображение функции Дирака - student2.ru -функции равна единичной функции.

Определим интеграл, содержащий импульсную функцию, следующим образом:

Изображение функции Дирака - student2.ru .

Или, в общем случае при Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение функции Дирака - student2.ru

Теорема обращения

Рассмотрим общий случай определения оригинала по известному изображению. Пусть f (t) ← F (p). Будем предполагать, что функцию f (t) можно представить интегралом Фурье, т. е.

Изображение функции Дирака - student2.ru

По определению изображения

Изображение функции Дирака - student2.ru

Умножим обе части последнего равенства на Изображение функции Дирака - student2.ru Изображение функции Дирака - student2.ru и проинтегрируем от Изображение функции Дирака - student2.ru до Изображение функции Дирака - student2.ru Тогда получим

Изображение функции Дирака - student2.ru

В правой части этого равенства положим Изображение функции Дирака - student2.ru будем иметь

Изображение функции Дирака - student2.ru

Так как Изображение функции Дирака - student2.ru при Изображение функции Дирака - student2.ru то

Изображение функции Дирака - student2.ru Изображение функции Дирака - student2.ru

В этом равенстве перейдем к пределу при Изображение функции Дирака - student2.ru :

Изображение функции Дирака - student2.ru

Правая часть последнего равенства представляет собой интеграл Фурье, с помощью которого выражается функция Изображение функции Дирака - student2.ru и, следовательно, будем иметь

Изображение функции Дирака - student2.ru

Отсюда получаем

Изображение функции Дирака - student2.ru

Эта формула называется формулой обращения. Путь интегрирования выбирается так, чтобы все особенности функции F (р) лежали левее его.

Интеграл (10.8) вычисляется обычно путем перехода к замкнутому контуру и применения теории вычетов.

1. Пусть функция F (р) имеет своими особенностями в плоскости р только полюсы. Выберем прямую Изображение функции Дирака - student2.ru так, чтобы все особые точки лежали левее этой прямой. Тогда интеграл (10.8) вычисляется на основании леммы Жордана:

Если F (р) стремится к нулю при Изображение функции Дирака - student2.ru , тогда Изображение функции Дирака - student2.ru где Изображение функции Дирака - student2.ru взятый по дуге Изображение функции Дирака - student2.ru окружности Изображение функции Дирака - student2.ru такой, что на ней Изображение функции Дирака - student2.ru (см. рис.10.5) стремится к нулю при Изображение функции Дирака - student2.ru т.е.

Изображение функции Дирака - student2.ru

Возьмем теперь контур, состоящий из отрезка АВ прямой Изображение функции Дирака - student2.ru и дуги Изображение функции Дирака - student2.ru радиус которой выберем настолько большим, чтобы все особые точки F (р) попали внутрь рассматриваемого контура.

 
  Изображение функции Дирака - student2.ru

Рис. 10.5

Тогда по теореме о вычетах имеем

Изображение функции Дирака - student2.ru

На основании леммы Жордана

Изображение функции Дирака - student2.ru ,

а интеграл по отрезку АВ, если Изображение функции Дирака - student2.ru , переходит в интеграл по прямой Изображение функции Дирака - student2.ru Следовательно, переходя к пределу при Изображение функции Дирака - student2.ru в (10.9), получим

Изображение функции Дирака - student2.ru (10.10)

В частности, если изображение Изображение функции Дирака - student2.ru (является отношением двух целых функций А (р) и В (р), т. е. функций, аналитических на всей комплексной плоскости ( Изображение функции Дирака - student2.ru ) и имеющих конечное число нулей, то особыми точками F (р) могут быть только полюсы.

Пользуясь формулой (8.4), для вычисления вычетов на основании (10.10) получаем в случае простых полюсов следующее выражение для оригинала:

Изображение функции Дирака - student2.ru

2. Если F (р) имеет существенно особые точки и точки ветвления, то в качестве контура интегрирования при вычислении интеграла (10.8) выбирается контур, состоящий из окружностей, заключающих точки разветвления, соединенных разрезами с контуром показанным на рис. (10.5).

Пример. Найти оригинал изображения Изображение функции Дирака - student2.ru (имеется в виду та ветвь Изображение функции Дирака - student2.ru , для которой Изображение функции Дирака - student2.ru , если р > 0).

По формуле обращения

Изображение функции Дирака - student2.ru

Для вычисления этого интеграла нельзя пользоваться теоремой о вычетах, так как подинтегральная функции многозначна и имеет точку разветвления при р = 0.

Рассмотрим сначала этот интеграл, взятый по контуру L, состоящему из прямой АВ, дуг окружности ВС, АF, малой окружности DЕ радиуса Изображение функции Дирака - student2.ru , окружающей начало координат – точку ветвления, и прямых СD и FЕ – разрезов вдоль действительной оси (рис. 10.б). Внутри контура нет особых точек, поэтому интересующий нас интеграл равен 0.

Тогда

Изображение функции Дирака - student2.ru

 
  Изображение функции Дирака - student2.ru

Рассмотрим интегралы вдоль дуг ВС и FА при Изображение функции Дирака - student2.ru Имеем

Изображение функции Дирака - student2.ru

На дуге Изображение функции Дирака - student2.ru угол Изображение функции Дирака - student2.ru меняется от Изображение функции Дирака - student2.ru до Изображение функции Дирака - student2.ru , на дуге Изображение функции Дирака - student2.ru от Изображение функции Дирака - student2.ru до Изображение функции Дирака - student2.ru , следовательно, на этих дугах Изображение функции Дирака - student2.ru На дуге Изображение функции Дирака - student2.ru угол Изображение функции Дирака - student2.ru меньше Изображение функции Дирака - student2.ru , а на Изображение функции Дирака - student2.ru больше Изображение функции Дирака - student2.ru , т. е. Изображение функции Дирака - student2.ru также больше нуля. Поэтому на ВС и FA будут справедливы неравенства

Изображение функции Дирака - student2.ru

т. е. Изображение функции Дирака - student2.ru стремится к нулю при Изображение функции Дирака - student2.ru

При этом интегралы по дугам bB и aA стремится к нулю, так как путь интегрирования конечен, а подынтегральная функция стремится к нулю.

Интегралы по дугам bC и Fa стремится к нулю в силу того, что здесь выполняются условия леммы Жордана.

Рассмотрим теперь

Изображение функции Дирака - student2.ru

Положим Изображение функции Дирака - student2.ru , на CD Изображение функции Дирака - student2.ru

поэтому Изображение функции Дирака - student2.ru

Имеем

Изображение функции Дирака - student2.ru

На Изображение функции Дирака - student2.ru поэтому Изображение функции Дирака - student2.ru

и

Изображение функции Дирака - student2.ru .

Таким образом, искомый интеграл

Изображение функции Дирака - student2.ru

На окружности DE имеем

Изображение функции Дирака - student2.ru

откуда следует, что на малой окружности DE величина Изображение функции Дирака - student2.ru имеет порядок малости Изображение функции Дирака - student2.ru , таким образом

Изображение функции Дирака - student2.ru

где Изображение функции Дирака - student2.ru при Изображение функции Дирака - student2.ru равномерно относительно Изображение функции Дирака - student2.ru ; учитывая, что Изображение функции Дирака - student2.ru ; получим

Изображение функции Дирака - student2.ru

где Изображение функции Дирака - student2.ru по модулю меньше, чем Изображение функции Дирака - student2.ru , т. е. стремится к нулю при Изображение функции Дирака - student2.ru .

Имеем окончательно при Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение функции Дирака - student2.ru

Последний интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

Изображение функции Дирака - student2.ru

Проинтегрируем его по b в пределах от 0 до b:

Изображение функции Дирака - student2.ru

Положим здесь Изображение функции Дирака - student2.ru получим

Изображение функции Дирака - student2.ru

Введя обозначение

Изображение функции Дирака - student2.ru

можем записать

Изображение функции Дирака - student2.ru

И так,

Изображение функции Дирака - student2.ru

Теорема разложения

Рассмотрим важный частный случай нахождения оригинала, когда изображение его представляет собой правильную рациональную дробь, т. е. Изображение функции Дирака - student2.ru где Изображение функции Дирака - student2.ru и Изображение функции Дирака - student2.ru многочлены.

1. Допустим, что корни Изображение функции Дирака - student2.ru знаменателя Изображение функции Дирака - student2.ru простые.

Как известно всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, т. е.

Изображение функции Дирака - student2.ru Изображение функции Дирака - student2.ru (10.11)

Если известны Изображение функции Дирака - student2.ru и Изображение функции Дирака - student2.ru , то оригинал определится формулой

Изображение функции Дирака - student2.ru

так как

Изображение функции Дирака - student2.ru

Коэффициенты Изображение функции Дирака - student2.ru находятся следующим образом: умножим (10.11) на Изображение функции Дирака - student2.ru и перейдем к пределу при Изображение функции Дирака - student2.ru Получим

Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение функции Дирака - student2.ru

игинал для изображенияСледовательно, оригинал для изображения Изображение функции Дирака - student2.ru выразится формулой

Изображение функции Дирака - student2.ru (10.12)

2. Если же знаменатель Изображение функции Дирака - student2.ru имеет кратные корни, то разложение дроби Изображение функции Дирака - student2.ru на простейшие имеет вид

Изображение функции Дирака - student2.ru

Умножая обе части этого равенства на Изображение функции Дирака - student2.ru получим

Изображение функции Дирака - student2.ru (10.13)

Переходя к пределу при Изображение функции Дирака - student2.ru , найдем в (10.13), будем иметь

Изображение функции Дирака - student2.ru

Продифференцировав равенство (10.13) по Изображение функции Дирака - student2.ru и перейдя к пределу при Изображение функции Дирака - student2.ru , найдем

Изображение функции Дирака - student2.ru

Таким образом, можно найти все Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение функции Дирака - student2.ru

И следовательно, оригинал будет иметь вид

Изображение функции Дирака - student2.ru (10.14)

Таким образом, мы доказали, что если изображение является дробно- рациональной функцией и Изображение функции Дирака - student2.ru – полюсы этой функции, то соответствующий оригинал определяется формулой (10.14), т. е. в рассматриваемом случае оригинал может быть найден без формулы (10.8).

Пример. Изображение функции Дирака - student2.ru Найти оригинал. Имеем Изображение функции Дирака - student2.ru полюс третьего порядка, Изображение функции Дирака - student2.ru простой полюс:

Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение функции Дирака - student2.ru

Изображение функции Дирака - student2.ru

Следовательно, Изображение функции Дирака - student2.ru

Пример. Найти решение уравнения

Изображение функции Дирака - student2.ru

удовлетворяющее начальным условиям

Изображение функции Дирака - student2.ru

Пусть Изображение функции Дирака - student2.ru , тогда уравнение в изображениях будет иметь вид

Изображение функции Дирака - student2.ru ,

отсюда

Изображение функции Дирака - student2.ru

Пользуясь теоремой разложения, получим оригинал, предварительно представив изображение в виде суммы простейших дробей:

Изображение функции Дирака - student2.ru

Следовательно, Изображение функции Дирака - student2.ru Таким образом, мы получаем решение задачи, не находя общего решения дифференциального уравнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьв М.А. , Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», Москва, I 965.

2. Маркушевич А.И. Краткий куре теории аналитических функций. «Наука», Москва, I 966.

3. Свешников А.Г. Тихонов А.В. Теория функций комплексной переменной. «Наука», Москва, I 970.

4. Фукс Б.А.‚ Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Физматгиз. Москва, I 959.

5. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. «Наука», Москва, I 964.

Наши рекомендации