Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными

Теория Практика
Решить систему уравнений – значит найти множество её решений. Решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Системы уравнений с двумя переменными можно решать: а) графическим способом; б) способом подстановки; в) способом сложения (вычитания). Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему. Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы. Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно помнить алгоритм решения этим способом: 1.Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую. 2.Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени 3.Решают получившееся уравнение. 4. Находят соответствующие значения второй переменной. Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 1. Решим систему уравнений Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Решение: Выразим из второго уравнения переменную x через y: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Подставим в первое уравнение вместо x выражение Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , получим уравнение с переменной y: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . После упрощения получим равносильное уравнение Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Решив его, найдем, что Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Подставив в формулу Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , получим: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Подставив в формулу Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru ; Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , получим: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru .;Итак система имеет два решения:   Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru и Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru .Ответ можно записать также в виде пар: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения.   2. Решим систему уравнений Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Решение: Т.К. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , выразим из второго уравнения переменную y через x: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru .; Подставим в первое уравнение вместо y выражение Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Получим уравнение относительно x: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . По формуле Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru находим y: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Значит, система имеет два решения: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru и Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Ответ: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru .   3. Вычислите координаты точки В. Решение. Точка В является пересечением прямых Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru и Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Решив систему Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , найдем, что Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru ; Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru .   Ответ: В(-3,4;0,4).   4. Решите систему уравнений Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Решение. Преобразуем второе уравнение системы Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru к виду Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Подставим в него Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Выполнив преобразования, получим систему: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Решив эту систему, получим: (-2;6), (3;-4).   Ответ: (-2;6), (3;-4). Возможна запись ответа в другом виде: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , или Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru и Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Другое возможное решение. Выразим из первого уравнения одну из переменных через другую, например, Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Подставим Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru во второе уравнение системы, получим уравнение Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . После преобразований получим квадратное уравнение Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Найдем корни данного уравнения и соответствующие значения y, получим: (-2;6), (3;-4).



Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 10) Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите соответствующее ей утверждение.

Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru А) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 1) Система имеет одно решение

Б) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Система имеет два решения

В) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Система не имеет решений

А Б В
     

Ответ:

2. Для каждой системы уравнения определите число ее решений (используйте графические соображения). В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.

А) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 1) Нет решений

Б) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Одно решение

В) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Два решения

А Б В
     

Ответ:

3. Вычислите координаты точки В. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

Ответ:______________

Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4. На рисунке изображен график функции Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Вычислите абсциссу точки А.

Ответ:_________

Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 5. На рисунке изображен график функции Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Вычислите абсциссу точки А.

Ответ:_________

6. Решите систему уравнений: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

Ответ:_________

7 -10. Решите способом подстановки систему уравнений:

7. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 8. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

9. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 10. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

11. Решите систему уравнений: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

1) (5;-3), (-5;3) 2) (-5;7), (3;-1)

3) (5;-3), (-3;5) 4) (-5;7), (5;-7)

12. Решите систему уравнений: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

1) (6;2), (-6;-2) 2) (-2;-6), (6;2)

3) (6;-2), (2;-6) 4) (-6;-10), (2;-2)

13. Для каждой системы уравнений определите число ее решений (используйте графические соображения).

В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.

А) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Б) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru В) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

1) Два решения 2) Одно решение 3) Нет решений

Ответ:

А Б В
     

Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

14. На рисунке изображен график функции у = 5х2 + 14х - 3. Вычислите абсциссу точки А.

Ответ:______________

15. Решите систему уравнений: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Ответ:___________

Вернуться в содержание

Тема 11 Составление уравнения по условию текстовой задачи

Теория Практика
Решение сложных задачцелесообразно начать с повторения алгоритмарешения системы уравнений с 2-мя неизвестными: -Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных); -Выразить через нее другие величины; -Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин; -Решить уравнение (или систему уравнений); -Сделать проверку при необходимости; -Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи; -Оформить ответ. 2. Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru где: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru – скорость по течению реки; Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru – скорость объекта при движении против течения реки; Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru – собственная скорость движущегося объекта; Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru – скорость течения реки.   1. Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь против течения реки лодка затратила на 1 ч больше, чем на обратный путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч. Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи. 1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Решение. x (км/ч) — собственная скорость лодки, тогда Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru (км/ч) — скорость по течению, Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru (км/ч) — скорость против течения. Расстояние между причалами 14 км, следовательно, Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru (ч) — время движения лодки по течению; Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru (ч) — время движения лодки против течения. Время движения лодки против течения больше, чем по течению, на 1 час, поэтому составим уравнение: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Ответ: 2. 2. Прочитайте задачу: «От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 5 ч. На мопеде он мог бы проехать это расстояние за 3 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч больше, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?» Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от турбазы до станции.   1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Решение. Пусть х км — расстояние от турбазы до станции. Тогда Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru км/ч — скорость, с которой турист едет на велосипеде; Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru км/ч — скорость, с которой турист едет на мопеде. Известно, что скорость на мопеде на 8 км/ч больше скорости на велосипеде: запишем уравнение Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Уравнение может быть записано и в другом виде, например, Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru , но его легко преобразовать к виду: Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru . Ответ: 3.

Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 11) Прочитайте задачу: «Фотография имеет форму прямоугольника со сторонами 10 см и 15 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг всей фотографии получилась белая окантовка одной и той же ширины. Площадь, которую занимает фотография с окантовкой, равна 500 см2. Какова ширина окантовки?».

Пусть ширина окантовки равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи?

Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

2. Прочитайте задачу.

Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов.

Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

3. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 20 см. Длины его смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

4. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

5. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

6. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

7. Прочитайте задачу: «В трех группах детского сада 70 детей. В старшей группе в 3 раза меньше, чем в старшей, а в средней на 15 больше, чем в младшей. Сколько детей в старшей группе?»

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число детей в старшей группе?

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

8. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 2 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

9. Прочитайте задачу: «В первый день школьник прочитал 29 страниц, во второй – 34 страницы, и вместе это составило 0,3 числа страниц в книге. Сколько страниц в книге?»

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число страниц в книге?

1) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 2) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 3) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru 4) Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

10. В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик – по 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева, Сколько в классе девочек?

Пусть в классе х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Б. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru В. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Г. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

11. В спортивной секции занимается 26 детей. Каждая девочка имеет по 2 медали, а каждый мальчик – по 3 медали. Всего мальчики и девочки имеют 68 медалей. Сколько в секции занимается мальчиков?

Пусть в секции х мальчиков. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Б. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

В. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Г. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

12. В кружке занимается 20 детей. К празднику каждая девочка сделала по 4 сувенира, а каждый мальчик – по 3 сувенира. Всего было сделано 72 сувенира. Сколько в кружке занималось девочек?

Пусть в кружке х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Б. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

В. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru Г. Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными - student2.ru

Вернуться в содержание

Наши рекомендации