Определители n-го порядка

Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :

Введем понятие определителя n-го порядка.

Определение 4.1:

Определителем n-го порядка называется число равное

-сумме n! слагаемых;

-каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

-каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.

Т.о.

Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…,n.

5. Основные свойства определителей.

Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.

1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспони­рованием) определитель остается неизменным. Действительно:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Примечание: Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальней­шем рядами, равноправны.

2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель

,

что и требовалось доказать.

3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.

4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.

что и требовалось доказать.

5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.

что и требовалось доказать.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на не­которое число.

Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:

Действительно, в силу свойств 3,4,5

=

что и требовалось доказать.

6. Миноры и алгебраические дополнения элементов оп­ределителя.

Рассмотрим определитель n-го порядка:

.

Выделим в определителе i-ю строку и j-й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент

Если в определителе мы вычеркнем i-юстроку и j-йстолбец, то получим определитель по­рядка п-1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый мино­ром элемента определителя . Будем обозначать мино­р элемента символом .

Определение 6.1. Алгебраическим дополнением эле­мента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим

.

Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя