Понятие ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров при нахождении ранга матрицы

Матрицы и действия над ними

Матрицы – прямоугольная таблица чисел, заключённая в квадратные скобки.

Умножение матрицы на число -

Сложение матриц

!Складывать можно только матрицы одинаковых размеров – С=А+В

Умножение матриц

!Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов в матрице А равно числу строк в матрице В. В результате умножения получаем матрицу С=А*В, в которой число строк столько, сколько в матрице А и число столбцов столько, сколько в матрице В.

Транспортирование матриц

В матрице А поменять местами строчки со столбцами.

Обратная матрица

Обратная матрица – такая матрица А , при умножении на которую, исходная матрица даёт в результате единичную матрицу (Е) Единичная матрица – квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

А*А =Е

! Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.

Определители второго порядка

!Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали

Дополнительный минор и алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число , где - дополнительный минор – определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы А путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Определители и их свойства

Определителем квадратной матрицы А называется число, которое обозначается А=

и равное сумме произведений элементов некоторой строки (некоторого столбца),

умноженного на их алгебраические дополнения.

Свойства определителя :

1) Если все элементы строки (столбца) равны 0, то и сам определитель равен 0

2) ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ! При умножении любой строки (любого столбца) на некоторое число, значение определителя также умножается на это число.

3) При перестановке любых 2х строк (столбцов), определитель меняет знак (умножается на -1)

4) От прибавления к строке (столбцу) определителя любой другой строки (столбца), умноженной на число, значение определителя не меняется.

Теорема о нахождении и существовании обратной матрицы

! Если определитель квадратной матрицы равен 0, то для такой матрицы не существует обратной. Если же определитель квадратной матрицы не равен 0, то для такой матрицы существует единственная обратная матрица А

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной ( А не равно 0)

Способ вычисления обратной матрицы : ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Система линейных уравнений. Однородная и неоднородная системы. Матричная запись.

Система m-линейных уравнений с n-неизвестными– это система уравнений вида

Решить систему – значит найти все возможные решения системы или убедиться в том, что решений не существует.

1) Система имеет единственное решение – ОПРЕДЕЛЁННАЯ

2) Система имеет бесчисленное множество решений – НЕОПРЕДЕЛЁННАЯ

3) Система решений не имеет - НЕСОВМЕСТНАЯ

Если все свободные члены системы линейных уравнений равны 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Если в системе (2) все свободные члены заменить нулями, то мы получим однородную систему,

которую будем называть однородной системой, соответствующей системе (2).

Отметим, что любая однородная система имеет решение x =0, x =0, x =0, которое называется нулевым решением.

Матричный способ решения систем линейных уравнений

AX=B

A *AX=A B

EX=A B

X=A В

Находим определитель. Находим обратную матрицу. Умножаем обратную матрицу на столбец свободных членов.

Теорема Крамера

Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными. Если определитель матрицы коэффициентов отличен от 0, то система имеет единственное решение. Это решение задаётся формулами :

- определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой первого столбца столбцом свободных членов.

Если же определитель равен 0, то система или неопределенна, или несовместна.

Понятие ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров при нахождении ранга матрицы.

Ранг матрицы – наивысший порядок миноров, отличных от нуля.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице А найден минор порядка k, который отличен от нуля, точка r(A) k. Тогда переходим к вычислению миноров порядка k+1. Оказывается при этом достаточно перебирать только такие миноры k+1 порядка, которые в своём составе содержат минор k-того порядка, который отличен от нуля.

Минором порядка k данной матрицы называется число, равное определителю матрицы, составленной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении каких-то k-строк и k-столбцов.

Теорема Кронекера Капелли

Пусть дана система m-уравнений с n-неизвестными. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов, равен рангу расширенной матрицы. Причём, система имеет единственное решение (система определена), если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений (система неопределенна), если ранг меньше числа неизвестных.