Основные положения теории упругости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра сопротивления материалов и основ теории упругости

Методические указания

для выполнения расчетно-графической работы

РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ

Казань

УДК 539.3

ББК 22.251

К12

К12 Решение плоской задачи теории упругости методом коллокаций: Методические указания для выполнения расчетно-графической работы / Сост. Р.А. Каюмов, И.З. Мухамедова. – Казань: Изд-во КГАСУ, 2013.–17с.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета

В методических указаниях изложены основные понятия и формулы плоской задачи теории упругости. Предложен метод коллокаций для расчета балки-стенки. Приведено решение типовой задачи численно на ЭВМ.

Табл. 1, ил. 12.

Рецензент

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Сопротивления материалов и основ теории упругости

А.У. Богданович

УДК 539.3

ББК 22.251

© Казанский государственный

архитектурно-строительный

университет, 2013

© Каюмов Р.А., Мухамедова И.З.,

 
 

Постановка задачи расчетно-графической работы

Балка-стенка нагружена по граням поверхностными нагрузками, , как показано на рис.1. Согласно шифру, выданному каждому студенту преподавателем, для заданной расчетной схемы с исходными данными из Таблицы требуется найти из уравнений равновесия поле напряжений , нарисовать их эпюры в сечениях , , и проверить прочность конструкции.

Таблица

  № А Б В Г А Б В Г
, м , м k03, МН/м3 k02, МН/м2 k12, МН/м3 k30, МН/м3 k20, МН/м2 k21, МН/м3 k11, МН/м2
-0.1 -0.3 0.2 0.5 0.2
0.1 0.2 0.3 0.4
-0.2 0.1 0.2 0.1 -0.1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.2 0.1 0.1 0.2
0.3 0.3 0.2 0.2 0.1
0.1 -0.3 -0.1 -0.1
0. 0.2 0. 0.3 0.2 0.2 0.1
0.4 0.3 0.2 0.1 -0.1 0.

Основные положения теории упругости

В теории упругости из конструкции сечениями выделяется бесконечно-малый элемент (рис.2). На него со всех сторон воздействуют соседние элементы распределенными по поверхности напряжениями σх, σу, σz,…. Они определяются из системы уравнений, которые в общем случае представляют собой совокупность уравнений равновесия, закона Гука, закона Дюгамеля-Неймана, кинематических соотношений Коши (или условия совместности деформаций). Эти уравнения составляются для всех малых элементов и являются объектом изучения теории упругости.

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости. Ниже приводятся соотношения для плоского напряженного состояния (ПНС), которое возникает в тонких плитах, балках-стенках, оболочках. Здесь принимают: (рис.3).

Дифференциальные уравнения равновесия внутреннего бесконечно-малого элемента 1 (рис.2 и рис.4) имеют вид:

,
(1)

где – проекции внешней объемной силы на оси координат, а также в силу закона парности касательных напряжений.

Алгебраические уравнения равновесия граничного элемента 2 (рис.2 и рис.5) с учетом того, что имеют вид:

Отсюда:


(2)

Деформации выражаются через составляющие перемещений точки с помощью соотношений Коши:

(3)

Закон Гука для ПНС записывается в следующей форме:

(4)

где , – модуль упругости, – коэффициент Пуассона.

Из соотношений Коши и закона Гука следует уравнение совместности деформаций:

(5)

где – модуль сдвига, – модуль упругости.

Метод коллокаций

Наши рекомендации