Теоретические основы лабораторной работы. Электрический колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L1 и активного сопротивления R проводов (рис.2)

Электрический колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L₁ и активного сопротивления R проводов (рис.2). При помощи функционального генератора (FG) напряжение прямоугольных импульсов низкой частоты ( f_о ≈ 500 Гц) подается на катушку возбуждения L. Резкое изменение магнитного поля вызывает появление напряжения в катушке L₁и создает за счёт активного сопротивления затухающие свободные колебания в колебательном L₁C–контуре, частота ƒ (период Т) и амплитуда напряжений которых измеряется с помощью осциллографа (Аналоговый вход CH1). Для контура L₁C имеются катушки различных длин l, диаметров 2r и числа витков N (соответствующие значения для номера каждой катушки представлены в таблице 2), емкость считается известной и установлена в разъёмник. Внешний вид всей установки представлен на рисунке 1.

Таким образом, благодаря импульсному характеру наведенного внешнего магнитного поля с катушки L на катушку L₁, в последней возникает индукционный ток, впоследствии чего конденсатор С начинает заряжаться, а потом разряжаться. Такие периодические изменения зарядов, напряжений и токов в контуре носят название электромагнитных колебаний. При этом происходит непрерывный переход энергии электрического поля в конденсаторе в энергию магнитного поля в катушке и обратно. В некоторый момент времени полная энергия колебаний:

,

где U и i – мгновенные значения разности потенциалов и тока. В те моменты времени, когда конденсатор полностью разряжен (U = 0), ток достигает максимального значения I_m, и полная энергия контура равна энергии магнитного поля:

Полная энергия колебаний постепенно уменьшается, так как электрическая энергия благодаря сопротивлению проводов R непрерывно превращается в тепловую и рассеивается в окружающее пространство.

Составим дифференциальное уравнение колебаний в контуре. Пусть q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора и U – разность потенциалов между обкладками в тот же момент времени. Тогда полное напряжение в цепи равно сумме действующих ЭДС. Так как в цепи действует только ЭДС самоиндукции:

,

.

Подставив в это равенство значения , получим:

, (1)

Разделим обе части уравнения (1) на L₁ и введём обозначения:

, (2)

(3)

где величина a называется коэффициентом затухания; w ₀ – собственная частота колебаний контура. Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

(4)

Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и постоянными коэффициентами. Решения этого уравнения имеют различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами. Положим, что w ₀ > a , тогда:

(5)

где q₀ – максимальное значение заряда на обкладках конденсатора; j – начальная фаза колебаний; w – частота затухающих электрических колебаний:

. (6)

При R = 0 и a = 0

,

а период этих колебаний (рис.3, кривая 1) составляет:

. (7)

В случае затухающих колебаний R ¹ 0 (рис.3, кривая 2) и период:

. (7’)

Решение (5) является аналитическим выражением затухающих колебаний. Большему значению коэффициента a соответствует кривая 3 (рис.3). Хотя затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле этого слова, они обладают определённой повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заряда, а также тока и напряжения достигаются через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток времени и называется периодом Т затухающих колебаний.

Для выяснения физического смысла коэффициента a рассмотрим тепловые потери W_R на сопротивлении R за полупериод Т/2:

,

где <Р> – среднее за период значение тепловой мощности, выделившейся на сопротивлении R. Для синусоидального тока:

.

Полный запас энергии колебательного контура:

.

Отношение энергии, израсходованной в контуре за полупериод на нагревание W_R (тепловые потери), к энергии колебаний W_L:

.

Используя обозначения (2),получим:

,

где q называется логарифмическим декрементом, который вместе с коэффициентом затухания характеризует потери энергии в контуре.

Как следует из (6), при a > w ₀ частота w оказывается мнимой, т.е. колебаний в контуре не будет. Разряд конденсатора будет апериодическим (рис.3 кривая 4 и 5). Логарифмический декремент может быть определён и другим путём. Пусть q_n и q_n+1 – амплитуды заряда конденсатора в момент времени t_n и t_n+1, причём t_n+1 = t + T. Тогда ; и, следовательно,

.

Как видно из полученного соотношения, отношения последующих амплитудных значений заряда не зависит от номера максимумов и является постоянной величиной для данного контура.

Прологарифмируем соотношение:

. (8)

Таким образом, логарифмический декремент контура можно определить, как натуральный логарифм отношения последующих амплитуд заряда конденсатора. В радиотехнической практике чаще пользуются величиной, обратно пропорциональной логарифмическому декременту q и называемой добротностью Q:

или . (9)

Добротность контура может быть представлена и так:

где N – полное число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Следовательно, чем выше добротность, тем медленнее рассеивается запас энергии контура.

Если ток силой проходит через катушку L₁ (соленоид) длиной , поперечным сечением и количеством витков , в катушке возникает магнитное поле. При l >> r магнитное поле однородно, а его напряженность рассчитывается по формуле:

(10)

Магнитный поток через катушку равен:

(11)

где μ_ο –магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды.

При изменении магнитного потока возникает напряжение на концах катушки,

(12)

где

(13)

является индуктивностью катушки (коэффициентом самоиндукции).

Выражение (13) справедливо только в случае однородного магнитного поля при l >> r.

На практике значение индуктивности катушек при l > r можно рассчитать по формуле:

, при (14)

В ходе выполнения эксперимента можно рассчитать индуктивность катушек с различными характеристиками, исходя из измерений периода колебательного контура:

(15)

Следовательно, индуктивность можно рассчитать по формуле:

(16)