Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы.

Натурал (оң бүтін) сандар жиынының анықтамасынан салдар ретінде математикалық дәлелдеулердің маңызды әдістерінің бірі-математикалық индукция әдісі шығады.

Әрбір натурал Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru үшін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru тұжырымы айтылған болсын. Әрине, кейбір Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru -дер үшін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалып, кейбір Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru -дер үшін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалмауы да мүмкін. Бірақ, егер

1) Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалса,

2) әрбір натурал Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru үшін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалғанда Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru де орындалса, онда Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru тұжырымы кез келген натурал Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru үшін орындалады.

Расында да, Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалатын Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru сандарынан құрылған жиынды Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru әрпімен белгілесек, онда Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru және Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru шарттары орындалады. Сондықтан, натурал сандардың анықтамасы бойынша Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru натурал сандар жиынының дәл өзі болады, яғни Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru тұжырымы кез келген Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru үшін орындалады (әрбір Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru үшін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалады ғой!).

Барлық натурал сандар туралы теореманы дәлелдегенде, яғни Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru тұжырымы әрбір Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru натурал саны үшін орындалатынын дәлелдеу үшін, әрқашанда келесі, математикалық индукция әдісі деп аталатын, әдісті қолдану керек:

1) және 2) шарттарының орындалатынын тексеру қажет.

Математикалық индукция әдісін қолдану мысалы ретінде кез келген Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru оң бүтін саны мен кез келген Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru нақты саны үшін

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

теңдігі орындалатынын дәлелдейік.

Бұл – Ньютон биномының формуласы – (бином- қос мүшелік), Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru дәрежесінің коэффициенті биномдық коэффициент деп аталады да, Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru немесе Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru символдарымен белгіленеді.

Сонымен, Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru ал Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru саны 1, 2, ..., Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru сандарының бірі болғанда Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

Осы белгілеулерді қолданып, Ньютон биномының формуласын қыскаша былай жазуға болады:

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

(1) тұжырымын Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru символымен белгілейік.

Әрине, Ньютон биномының формуласын дәлелдеу әрбір оң бүтін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru саны үшін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалуын дәлелдеумен пара-пар.

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru -дің орындалуы айқын, өткені Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru болғандықтан,

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

Сондықтан, жоғарыда айтылған бойынша, Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru әрбір оң бүтін Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru үшін орындалатынын дәлелдеу үшін әрқашан Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru мен бірге Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru орындалатынын дәлелдеу жеткілікті.

Сөйтіп, Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru тұжырымы, яғни (1) теңдігі орындалсын. Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru -ді дәлелдеу үшін, әуелі биномдық коэффициенттердің келесі қасиетін атап өтейік.

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

Яғни,

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

Енді (2) теңдігін қолданып, Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru тұжырымын былай дәлелдей

аламыз:

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

(мұнда Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru теңдіктері де пайдаланылады).

(1) - формула

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

түрінде де қолданылады (мұнда Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru мен Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru - нақты сандар).

(3)-ті дәлелдеу үшін

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

тепе-теңдігін қолданып, Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru болғанда (1) теңдігін пайдалансақ болғаны.

Мектеп оқушылары арасында математиканы кең насихаттау

мақсатында әр деңгейдегі математикалық олимпиадалар жүйелі түрде өткізіліп тұрады. Олимпиадаларды өткізудегі негізгі мақсат оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттыру, олардың бойындағы бейімділіктің ашылып, одан әрі дамуына жәрдем ету екедігі белгілі. Соңғы жылдары әрқилы аймақтық, жекелеген оқу орындары, математикалық журналдар ұйымдастырған олимпиадалар да өткізіліп жүр.

Олимпиадаларда ұсынылатын есептер математика курсының әр алуан тақырыптарын қамтиды. Сондай тақырыптардың бірі сандардың бөлінгіштігі. Ондай есептерді шығару үшін орта мектеп программасындағы теориялық білім, негізінен жеткілікті.

Сандардың 3-ке, 5-ке және 9-ға бөлінгіштік белгілерімектеп курсынан белгілі. Санның 7-ге немесе 13-ке бөлінгіштігін анықтау үшін оның цифрларын оңнан солға қарай үш цифрдан топтастырады. Содан кейін, жұп және тақ орындағы сандардың қосындыларын жеке анықтап, пайда болған қосындылардың айырымын табады. Егер айырым 7-ге немесе 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 7-ге немесе 13-ке бөлінеді.

Мысалы, 52307512901 санының тақ орындағы топтары қосындысы 1208-ге тең 901 және 307 сандарынан, ал жұп орындағы топтары қосындысы 564 болатын 512 және 52 сандарынан тұрады. Осы қосындылардың айырымы 1208-564=644 саны 7-ге бөлінеді. Демек, берілген сан да 7-ге бөлінеді.

Санның бірліктерінен бастап, тақ және жұп орындарда тұрған цифрларынан құралған екі қосындының айырымы 11-ге бөлінсе, онда берілген сан да 11-ге бөлінеді.

Мысалы, 65791 саны 11-ге бөлінеді, өйткені (1+7+6) – (9+5) =0 саны 11-ге бөлінеді.

Сандардың қандай да бір санға бөлінгіштігін дәлелдегенде, кез келген Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru оң бүтін саны мен кез келген Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru және Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru нақты сандары үшін орынды, келесі жіктеу формулалары жиі пайдаланылады:

1) Ньютон биномының формуласы

Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

2) Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

3) Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

4) Математикалық индукция әдісі. Ньютон биномының формуласы. - student2.ru

Енді сандар бөлінгіштігіне қатысты қалыпты емес есептерді қарастырайық.

Наши рекомендации