Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Линейная алгебра

Понятие и формы записи комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение вида Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , i - символ, называемый мнимой единицей и обладающий свойством Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Действительные числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru и обозначаются через Re z и Im z соответственно.

Всякое комплексное число Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru может быть изображено точкой M(x,y) с абсциссой x и ординатой y в координатной плоскости, называемой комплексной(см. рис. 1).

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Рис. 1

Число Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru называется модулем комплексного числа Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , обозначается символом |z| и равно расстоянию от начала координат О до точки M, изображающей число z.

Угол φ между положительным направлением оси Оx и вектором Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru называется аргументом Arg z комплексного числа Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . При этом Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru если движение от оси Ox осуществляется против часовой стрелки, и Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru в противном случае. Значения Arg z определяется неоднозначно, с точностью до слагаемых, кратных Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Поэтому из всех значений Arg z выбирается главное значение, которое лежит в интервале Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru и обозначается через arg z.

Главное значение arg z вычисляется по формуле

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 1 Для числа Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru имеем Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Запись Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru называется алгебраической формой числа z. Из прямоугольного треугольника OAM (см. рис. 1) получаем Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Таким образом, справедливо равенство

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

представляющее тригонометрическую форму числа z. Обозначив символом Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru выражение Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , получаем показательную форму комплексного числа z

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Например, Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 2 Дано комплексное число Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Требуется записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

1. Найдем алгебраическую форму числа a:

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Числу a соответствует точка М(-1; Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ), изображенная на рис. 2.

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Рис. 2

Найдем модуль и аргумент числа а

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тогда тригонометрическая и показательная формы числа а определяются равенствами

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Основы дискретной математики

Теория множеств

Множество – это совокупность элементов, представляющих между собой единое целое. Имеют место различные операции над множествами. Через Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru обозначается отношение принадлежности, т.е. х Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru А означает, что элемент х принадлежит множеству А. Если х не является элементом множества А, то это записывается х Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru А. Два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Мы пишем А=В, если А и В равны, и А ≠ В в противном случае. Через Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru обозначается отношение включения множеств, т.е. А Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru В означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае А называется подмножеством В, а В — надмножеством А. Если А Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru В и А≠В, то А называется собственным подмножеством В и в этом случае пишем A Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru B. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается через 0. Семейство всех подмножеств данного множества А обозначается через Р(А). Объединением множеств А и В называется множество A Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru B={x │ x Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru А или х Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru В}. Пересечением множеств А и В называется множество А Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru В={x │ х Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru А и х Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru В} Разностью множеств Аи В называется множество А\В={х │ х Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru А и х Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru В}. Кроме того встречается обозначение «–А», которое подразумевает краткую запись U\A, где U – универсум, то есть множество, включающее в себя все другие множества. Тогда « - А » будем считать дополнением к множеству А.

Диаграммы Венна (круги Эйлера - Венна) используются для наглядного изображения множеств. Например:

A Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru B А Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru В A Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru B А\В
Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 1. Используя диаграммы Эйлера – Венна докажите равенство:

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Построим диаграммы для левой и правой частей уравнения:

Выполним по порядку действий левую часть: а) Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , б) Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Аналогично в правой части: а) Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , б) Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru в) Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Получив две одинаковые фигуры в ответе, будем считать, что равенство доказано.

Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Понятие производной

Определение: Производной функции Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru по аргументу x называется предел отношения ее приращения Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru к приращению Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е. Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Уравнение касательнойк графику функции Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru в точке Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru :

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Уравнение нормали к графику функции Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru в точке Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru :

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Таблица производных

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru   Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru  

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1: Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение: Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru +

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример2: Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение: Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 3: Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение: Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Для большей наглядности рассмотрим пример.

Пример 1: Найти дифференциал функции Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение: Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Так как Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то Математический анализ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Наши рекомендации