Жидкости в трубопроводах

Расчет неустановившихся течений жидкости в трубопроводах более сложен, чем расчет установившихся течений. Не существует простых алгебраических формул для вычисления параметров течения в неустановившихся течениях хотя бы потому, что таких течений существует бесчисленное множество. Поэтому расчеты неустановившихся течений, например тех, которые были поименованы в начале этого параграфа, осуществляют численно с использованием компьютеров. Приведем один из эффективных алгоритмов расчета, основанный на математическом методе, получившем название метода характеристик.

Умножим второе уравнение системы уравнений (12.14) на жидкости в трубопроводах - student2.ru и сложим результат с первым уравнением. Получим:

жидкости в трубопроводах - student2.ru .

Аналогичным образом после вычитания второго уравнения системы (12.14), умноженного на жидкости в трубопроводах - student2.ru , из первого, получим

жидкости в трубопроводах - student2.ru .

Если на плоскости переменных жидкости в трубопроводах - student2.ru рассмотреть прямые линии, которые определяются уравнениями

жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru

и которые называются характеристиками системы дифференциальных уравнений (12.13), можно заметить, что для любого параметра жидкости в трубопроводах - student2.ru :

жидкости в трубопроводах - student2.ru

Это означает, что выражение, стоящее слева, есть производная от функции жидкости в трубопроводах - student2.ru по направлению первой характеристики (или, как говорят, производная вдоль характеристики жидкости в трубопроводах - student2.ru ). Аналогично

жидкости в трубопроводах - student2.ru ,

т.е. выражение, стоящее слева, есть производная от функции жидкости в трубопроводах - student2.ru по направлению второй характеристики (или вдоль направления жидкости в трубопроводах - student2.ru ).

Используя понятие производной по направлению, полученные уравнения можно записать в следующем виде:

жидкости в трубопроводах - student2.ru

или

жидкости в трубопроводах - student2.ru . (12.16)

Система (12.16) называется характеристической формой системы уравнений (12.14).

Если жидкости в трубопроводах - student2.ru , то правые части уравнений в (12.15) равны нулю. Это означает, что вдоль характеристики положительного наклона ( жидкости в трубопроводах - student2.ru ) сохраняется величина жидкости в трубопроводах - student2.ru , а вдоль характеристики отрицательного наклона ( жидкости в трубопроводах - student2.ru ) сохраняется величина жидкости в трубопроводах - student2.ru . Величины жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru называются инвариантами Римана.

Итак, при жидкости в трубопроводах - student2.ru , т.е. при отсутствии силы трения и скатывающей составляющей силы тяжести, вдоль характеристик положительного наклона сохраняется первый инвариант Римана, а вдоль характеристики отрицательного наклона - второй инвариант Римана.

При жидкости в трубопроводах - student2.ru величины жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru не сохраняются на соответствующих характеристиках. Однако формулы (12.16) могут служить для расчета различных неустановившихся течений в трубопроводе, особенно если использовать численные методы.

Пусть, например, в какой-либо момент времени жидкости в трубопроводах - student2.ru (в частности, жидкости в трубопроводах - student2.ru ) в трубопроводе известно распределение давлений и скоростей течения, т.е. функции жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru . Дадим метод для расчета значений этих функций в следующий момент времени жидкости в трубопроводах - student2.ru , отстоящий от данного на величину жидкости в трубопроводах - student2.ru . Рассмотрим на плоскости переменных жидкости в трубопроводах - student2.ru прямоугольную сетку с шагом жидкости в трубопроводах - student2.ru по координате и жидкости в трубопроводах - student2.ru по времени (рис. 12.6).

жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru

жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru

жидкости в трубопроводах - student2.ru

жидкости в трубопроводах - student2.ru

жидкости в трубопроводах - student2.ru

жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru

жидкости в трубопроводах - student2.ru

жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru жидкости в трубопроводах - student2.ru

Рис. 12.6. Расчетная схема метода характеристик

Через узлы получившейся сетки проведем характеристики жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru положительного и отрицательного наклонов, соответственно. Непрерывное распределение искомых функций жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru заменим дискретными значениями жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru сеточных функций в узлах построенной сетки. Предположим, что все значения жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru известны в каком-нибудь слое жидкости в трубопроводах - student2.ru и требуется найти значения сеточной функции при жидкости в трубопроводах - student2.ru , т.е. жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru . Покажем, как это сделать на примере произвольной точки жидкости в трубопроводах - student2.ru .

Заменим производные по направлению в уравнениях (16) конечными разностями вдоль характеристик жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru . Получим:

жидкости в трубопроводах - student2.ru

где

жидкости в трубопроводах - student2.ru .

Отсюда получаем систему уравнений для определения давления жидкости в трубопроводах - student2.ru и скорости жидкости жидкости в трубопроводах - student2.ru в точке жидкости в трубопроводах - student2.ru через известные величины этих параметров в точках жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru :

жидкости в трубопроводах - student2.ru

или

жидкости в трубопроводах - student2.ru

где жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru значения функции жидкости в трубопроводах - student2.ru , вычисленные по параметрам точек жидкости в трубопроводах - student2.ru и жидкости в трубопроводах - student2.ru , соответственно. Из последней системы вычисляем значения жидкости в трубопроводах - student2.ru давлений и жидкости в трубопроводах - student2.ru скоростей потока нефти в трубопроводе в момент времени жидкости в трубопроводах - student2.ru через значения этих же параметров в момент времени жидкости в трубопроводах - student2.ru :

жидкости в трубопроводах - student2.ru (12.17)

Таким образом, рекуррентные формулы (12.17) в принципе решают поставленную задачу о расчете неустановившихся течений слабо сжимаемой жидкости в трубопроводе, поскольку позволяют рассчитать значения давлений и скоростей течения в последующий момент времени по известным значениям этих параметров в предыдущий момент времени. Так как за первый “предыдущий” момент времени можно взять начальное состояние потока (т.е. значения давлений и скоростей течения в момент времени, принимаемый за начальный жидкости в трубопроводах - student2.ru ), то вычисляя по формулам (12.17) шаг за шагом значения этих величин в последующие моменты времени, можно рассчитать параметры потока в произвольный момент времени и затем найти все интересующие нас технологические параметры нестационарного режима.

Наши рекомендации