Решение системы с помощью обратной матрицы
Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом
Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где 
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице 
нужно было бы поставить нули.
Решение системы найдем по формуле 
(её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).
Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу 
и выполнить матричное умножение 
. Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где 
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если 
, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров 
Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент 
находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент 
находится в 3 строке, 2 столбце
В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.
Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).
Таким образом:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?
Теперь записываем обратную матрицу:
Ни в коем случае не вносим 
в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.
Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на урокеДействия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.
Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.