Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении

Сопротивление материалов

Задача 1. Расчет стержней при центральном растяжении ( сжатии).

Стальной стержень (модуль Юнга Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2) с размерами Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см; Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см, Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см и площадью поперечного сечения нижнего участка Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см2, а верхнего – Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см2 нагружен внешними осевыми силами Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН и Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН (см. рис.). Построить эпюры продольных сил Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru и нормальных напряжений Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru . Найти удлинение стержня Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

№ вар. а b c Fн Fв P1 P2

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru

Решение.

1.Определяем значение опорной реакции Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru , возникающей в заделке.

Учитывая, что Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru , направим опорную реакцию Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru вниз. Тогда из уравнения равновесия Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru находим:

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН.

2.Строим эпюру продольных сил Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

Разбиваем длину стержня на три участка (рис. а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.

Воспользуемся методом сечений (РОЗУ). Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.

Начнем с сечения 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru растягиваетрассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru уравновесит внешнюю силу Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru . Поэтому очевидно, что

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН.

Переходим к сечению 2 – 2 (рис. в). Внешняя сила Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН.

Делаем сечение 3 – 3 (рис. г). Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающуюсилу R. Поэтому она направлена к сечению и равна:

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru также противодействует сжатию. Она равна:

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН.

При построении эпюры продольных сил Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию.

Это правило знаков вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.

Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН.

Для построения эпюры продольных сил Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.

Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.

Полученную эпюру обводим жирной линией.

Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. д, никак не сказывается на характере эпюры Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

3. Строим эпюру нормальных напряжений Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru ,

где Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru и Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.

В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2,

во втором –

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2,

в третьем –

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2.

Строим по вычисленным значениям эпюру Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru (рис. е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.

4. Оцениваем прочность стержня.

Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru . Тогда

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2.

Условие прочности имеет вид Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru . В нашем случае

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2 > Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кН/см2,

следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.

Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см2, нам необходимо увеличить.

Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.

Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см2.

Принимаем на втором участке Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см2.

5. Вычисляем удлинение всего стержня Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru ,

где E – модуль Юнга, а Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru – длина соответствующего участка стержня.

Тогда

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru см.

Таким образом, длина стержня уменьшается на 1,7 мм.

Вопросы для защиты.

1.Что такое прочность, жесткость, устойчивость?

2.В чем сущность метода сечений?

3.Что такое напряжение и в каких единицах измеряется?

4.Какие известны виды деформаций?

5.Какая деформация называется центральным растяжением (сжатием)?

6.Какие формулы, выражающие закон Гука, Вы знаете?

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М1, M2, M3, M4. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М1 = М3 = 2 кНм, М2 = М4 = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru = 80 МПа.

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru

№ вар. M1 M2 M3 M4 a b c
1,0 2,9 2,0
1,1 2,8 2,1
1,2 2,7 2,2
1,3 2,6 2,3
1,4 2,5 2,4
1,5 2,4 2,5
1,6 2,3 2,6
1,7 2,2 2,7
1,8 2,1 2,8
1,9 2,0 2,9
2,0 1,9 3,1
2,1 1,8 3,2
2,2 1,7 3,3
2,3 1,6 3,4
2,4 1,5 3,5
2,5 1,4 3,6
2,6 1,3 3,7
2` 2,7 1,2 3,8
2,8 1,1 3,9
2,9 1,0 4,0

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр Мкр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД):

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кНм,

II участок (СД):

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кНм,

III участок (СВ):

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кНм,

IV участок (ВА):

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кНм.

По значению этих моментов строим эпюру Мкр в выбранном масштабе. Положительные значения Мкр откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры.

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru

2. При заданном значении Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru определим диаметр вала из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении имеет вид

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru - максимальный крутящий момент, взятый по абсолютной величине. Определяется из эпюры Мкр .

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru кНм;

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru - полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала.

Диаметр вала определяется по формуле

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru .

где Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru - жесткость сечения вала при кручении.

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru Н/м2;

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru - полярный момент инерции круглого вала

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru м4.

Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А)

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru рад,

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru рад,

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru рад,

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru рад.

Строим эпюру углов закручивания.

4. Найдем наибольший относительный угол закручивания

Задача 2. Расчет вала на прочность при кручении - student2.ru рад/м.

Вопросы для защиты.

1.Какие напряжения возникают в поперечных сечениях при кручении?

2.Что такое полярный момент сопротивления?

3.Напишите условие прочности при кручении.

4.Какая деформация возникает при кручении?

5.При какомнагружении возникает кручение?

Наши рекомендации