Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru - уравнение эллипса.

2) Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru - уравнение “мнимого” эллипса.

3) Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru - уравнение гиперболы.

4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y2 = 2px – уравнение параболы.

6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

Окружность.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru .

Определение. Фокусаминазываются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru у

М

r1

r2

F1 O F2 х

F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатияэллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатиемэллипса.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru , то она находится внутри эллипса, а если Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru r1 = a – ex, r2 = a + ex.

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru . Расстояние между фокусами:

2c = Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Итого: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru .

Гипербола.

Определение. Гиперболойназывается множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru y

M(x, y)

b

r1

r2

x

F1 a F2

c

По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Определение. Отношение Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Если а = b, e = Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru y

a/e d

M(x, y)

r1

0 a F1 x

OF1 = c

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c)2 + y2 = r2

Из канонического уравнения: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru , с учетом b2 = c2 – a2:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.

Итого: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru .

Для эллипса: c2 = a2 – b2.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2.

 
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Уравнение гиперболы: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

Итого: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru - искомое уравнение гиперболы.

Парабола.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru у

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru А М(х, у)

 
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

О F x

 
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметромпараболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

y2 = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).

Системы координат.

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.

Полярная система координат.

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

М

r

r = Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

j

l

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

x = rcosj; y = rsinj; x2 + y2 = r2

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru ;

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru , половина расстояния между фокусами равно с = Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

y

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

F1 F2

-1 0 ½ 1 2 x

- Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0).

Построим график этой гиперболы.

 
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

y

F1 -9 -5 -1 0 F2 x

-3

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда пару уравнений

Кривая второго порядка может быть задана уравнением - student2.ru

назовем уравнением линии в пространстве.

Наши рекомендации