Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли

Дисперсия непрерывной случайной величины. Стандартное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется Математическое ожидание Е (Х — mх)2 квадрата отклонения Х от её математического ожидания mх = Е (Х). Д. случайной величины Х обозначается через D (X) или через σ2X. Квадратный корень из Д. (т. е. σ, если Д. есть σ2) называется средним квадратичным отклонениемДля непрерывной случайной величины x, заданной плотностью распределения :

Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru

Дисперсия и квадратный корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением, характеризуют среднее отклонение от среднегозначения выборки. Среди этих двух величин наиболее важное значение имеет стандарт отклонение. Это значение можно представитькак среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего элемента выборки.

Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Стандартное отклонение вы числяется путем определения сначала дисперсии и затем вычисления квадратного корня из дисперсии.

Понятие и примеры системы случайных величин.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

1) число попаданий при трех выстрелах;

2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;

3) частота попадания при 10 выстрелах.

Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли

если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем,называемой законом больших чисел.

Теорема (неравенство Чебышева).p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε2.

Теорема 13.2 (теорема Чебышева). Если Х1, Х2,..., Хп – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены ( D(Xi) ≤ C), то для сколь угодно малого числа ε вероятность неравенства

Х1 +Х2 +...+Хп −М(Х1)+М(Х2)+...+М(Хп) <ε будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Замечание. Иначе говоря, при выполнении этих условий

limp(Х1 +Х2 +...+Хп −М(Х1)+М(Х2)+...+М(Хп) <ε)=1.

Теорема (Бернулли). Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят- ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1 Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru

Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru

2.Понятия частоты и относит частоты события. Статистич опр вероятности. По наблюдениям расчитывают отшош Wa=MA/n наз частостотой(относит частот)событ А Статистич вероятностью события A наз отнош числа испытан в кот появил соытие А к общему числу произв испытаний W(A)+m/n. Статистич вероятн всегда вычисляется на основании результатоы испытаний. Для существ статистической вероятности события А требуется:1) возможность производить неограниченное число испытаний 2)устойчивость относительных частот появления А в различн сериях достаточно большого числа опытов. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. 6. Элементы комбинаторик: правила суммы и произвед. Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть n способами, то выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора другой объект B может быть выбран n способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.     7. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В. Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru равна сумме вероятностей этих событий Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru и Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru . Пусть событию Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru благоприятствуют Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru элементарных исходов, а событию Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru исходов. Так как события Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru и Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru по условию теоремы несовместны, то событию Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru благоприятствуют Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно, Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru , где Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru — вероятность события A; Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru — вероятность события Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru .         10. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Теорема: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Доказательство: Всего исходов N, благоприятствующ событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В: Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru       12. Ф-а полной вероятности и формулы Байеса. Предположим, что событие B может осуществляться только с одним из несовместных событий Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий в разном количестве. Существует разная вероятность выпуска некачественной продукции на разных предприятиях. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие B). Здесь событияA1,,A2,A3 — это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия. В этом случае вероятность события B можно рассматривать как сумму произведений событий Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Используя теорему умножения вероятностей, находим Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Формула носит название формулы полной вероятности. Формула Байеса Пусть событие B происходит одновременно с одним из n несовместных событий Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru . Требуется найти вероятность события Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru , если известно, что событие B произошло. На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Откуда Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru или Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Формула носит название формулы Байеса.     16 Теорема Пуассона: формулировка теоремы, приближенная формула. Теорема Пуассона в теории вероятностей описывает способ получения распределения Пуассона как предел биномиальных распределений. Формулировка Пусть есть Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Пусть также дана последовательность Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru такая, что Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Тогда Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Уточнённая теорема Пуассона Пусть Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru и Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Тогда Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru     17. Наивероятнейшее число появления события A в n испытаниях. Число m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m1=(n+1)p-1 и m2=(n+1)p. Если р≠0 и р≠1, то число m0 можно определить из двойного неравенства np-q ≤ m0 ≤ np+p.       28. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, или дифференциальная функция распределения, ее вероятностный смысл и основные св-ва. Функцией распределения вероятностей называют функцию F(X), определяющую вероятность того, что случайная величина x в результате испытания примет значение, меньшее x, то есть: F(X)=P(X<x)
.
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины x называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения вероятностей F(X):
f(x)=F’(x).
Таким образом, функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей. Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru Свойства плотности распределения вероятностей 1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция:
f(x)=>0 .
2.Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru до Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru равен единице:
 Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru .Вероятностный смысл плотности распределения вероятности. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru ) произведению плотности распределения вероятности в точке на длину интервала Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru :
 Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru .   32. Нормальное распределение непрерывной случайной величины и его параметры. Плотность вероятности нормированного нормального распределения таблица значений этой функции. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое задается плотностью 
 Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru .
Нормальное распределение задается двумя параметрами: a – математическим ожиданием, Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru – средним квадратическим отклонением.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru .
Плотность нормированного распределения задается формулой
 Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru .
Случайная величина x нормально распределена с параметрами a и s , s >0, если ее плотность распределения px(x ) и функция распределения Fx(x) имеют соответственно вид: Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru , Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru , Mx = a, Dx = s2. Часто используемая запись x ~ N(a, s ) означает, что случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a и s . Говорят, что случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и s = 1 (x ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид: Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru , Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru , Mx= 0, Dx= 1. Здесь Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru - функция Лапласа. Функция распределения нормальной величины x ~ N(a, s ) выражается через функцию Лапласа следующим образом: Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru . Если x ~ N(a, s ), то случайную величину h = (x-a)/s называют стандартизованной или нормированной случайной величиной; h ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение. Таблица значений плотности ста ндартного нормальног о распределения. Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли - student2.ru    

37. Понятие функции одного случайного аргумента. Нахождение распределения функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X: Y = φ (X).

Наши рекомендации