Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

"Казанский национальный исследовательский технический университет

Им. А. Н. Туполева-КАИ

(КНИТУ-КАИ)

НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ФИЛИАЛ

Методические указания к выполнению

лабораторных работ

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Набережные Челны

2011 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Лабораторная работа № 1. Исследование временных и частотных характеристик линейных САУ.

2. Лабораторная работа № 2. Исследование устойчивости линейных САУ.

3. Лабораторная работа № 3. Исследование показателей качества линейных САУ.

Приложение 1. Краткое руководство по применению MATLAB System и SIMULINK.

Список литературы

Лабораторная работа № 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЛИНЕЙНЫХ САУ

Цель работы: изучение основных характеристик и параметров линейных систем автоматического управления (САУ).

Теоретическая часть

Линейной САУ называется динамическая система, поведение которой во времени описывается линейным дифференциальным уравнением n-степени:

a_n∙y⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)∙y^(n-1) + … + a₁∙y⁽¹⁾ + a₀∙y = b_m∙x^(m) + b_(m-1)∙x^(m-1) + … + b₁∙x⁽¹⁾ + b₀∙x,

где a₀, b₀, … , a_n, b_n – постоянные коэффициенты уравнения;

y – регулируемая переменная (выходная функция САУ);

х – входная переменная (функция) САУ;

y⁽ⁱ⁾ = dⁱy(t) / dtⁱ – i-я производная функции у, (i = 1, … , n);

x^j = d^jx(t) / dt^j – j-я производная функции x (j = 1, … , m).

Так, например, подлежащие исследованию две линейные САУ описываются следующими дифференциальными уравнениями, соответственно, второй и третьей степени:

1) а₂∙у⁽²⁾ + а₁∙у⁽¹⁾ = b₀∙x;

2) a₃∙y⁽³⁾ + а₂∙у⁽²⁾ = b₀∙x.

Представленные выше уравнения запишем в стандартной форме записи этих уравнений:

1) Т₂²∙у⁽²⁾ + Т₁∙у⁽¹⁾ = К∙x;

2) Т₃³∙y⁽³⁾ + Т₂²∙у⁽²⁾ = К∙x,

где К = b₀ – статический коэффициент усиления САУ;

Т₃³ = а₃, Т₂² = а₂, Т₁ = а₁ – постоянные времени САУ, характеризующие ее динамические свойства.

Дифференциальные уравнения можно представить в операторной форме путем замены в них знака производной d/dt оператором Лапласа р:

1) Т₂²∙р²∙у + Т₁∙р∙у = [(Т₂∙р)² + Т₁∙р]∙ у = К∙x;

2) Т₃³∙р³∙у + Т₂²∙р²∙у = [(Т₃∙р)³ + (Т₂∙р)²]∙у = К∙x.

Отношение выходной величины у к входной переменной x в операторной форме есть передаточная функция W(p) САУ:

1) W(p) = y / x = К / [(Т₂∙р)² + Т₁∙р];

2) W(p) = y / x = К / [(Т₃∙р)³ + (Т₂∙р)²].

Для формализованного описания динамических свойств САУ наряду с дифференциальными уравнениями и передаточной функцией W(p)используются следующие способы:

временные функции, характеризующие изменение во времени выходного сигнала определенного вида;

частотные характеристики, устанавливающие зависимость между амплитудой и фазой входного и выходного гармонических сигналов при изменении частоты входного сигнала.

К временным характеристикам динамических звеньев относят переходную и весовую функции.

Переходная функция h(t) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией x(t) = 1(t): y(t) = h(t)∙1(t) = h(t).

Весовая функция g(t) (импульсная переходная функция) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является импульсной функцией x(t) = δ(t) = 1′(t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, т.е. ее кривая на плоскости охватывает площадь, равную 1:

y(t) = g(t)∙δ(t) = g(t)∙1′(t)

Весовая функция является производной от переходной функции. Следовательно, переходную функцию h(t) можно определить путем аналитического и графоаналитического интегрирования весовой функции g(t):

g(t) = dh(t)/dt; h(t) = ∫ g(t) ∙ dt.

Изображением весовой функции L[g(t)], т.е. представлением ее в операторной форме, является передаточная функция W(p):

1) L[g(t)] = W(p) = K / [(T₂∙р)² + Т₁∙р];

2) L[g(t)] = W(p) = К / [(Т₃∙р)³ + (Т₂∙р)²].

С целью упрощения нахождения оригинала L^-1[W(p)] функции g(t), представленной в операторной форме, относительно сложное изображение W(p) можно разложить на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов:

1) ;

2) .

Приведя правую часть полученных выражений к общему знаменателю, получим:

1) ;

2) .

Так знаменатели левой и правой частей выражений равны, то, соответственно, равны и их числители, т.е.:

1) ;

2) .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях оператора Лапласа р левой и правой частей полученных формул:

1) К = А∙Т₁; 0 = А∙Т₂² + В;

2) К = В∙Т₂²; 0 = А∙Т₂² + В∙Т₃³; 0 = А∙Т₃³ + С.

Решая систему уравнений (1) и (2), получим:

1) А = К / Т₁; В = - А∙Т₂² = - К∙Т₂² / Т₁;

2) В = К / Т₂²; А = - В∙Т₃³ / Т₂² = - К∙Т₃³ / (Т₂²)²;

С = - А∙Т₃³ = К∙(Т₃³ / Т₂²)².

Подставляя значения коэффициентов А, В и С в соответствующие исходные формулы, получим:

1) =

= ;

2) =

= = .

Оригиналы изображений элементарных функций имеют следующий вид:

.

Заменяя в формулах 1) и 2) соответствующие изображения элементарных функций на их оригиналы, получим следующие выражения для весовых функций линейных САУ:

1) g(t) = ; 2) g(t) = .

Так как переходная функция h(t) есть интеграл от весовой функции g(t), то найти ее можно либо путем непосредственного интегрирования функции g(t), либо путем нахождения сначала изображения L[h(t)] функции h(t), а затем ее оригинала. Изображение переходной функции можно получить путем умножения передаточной функции (изображения L[g(t)] весовой функции) на передаточную функцию идеального интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1. Рассмотрим в качестве примера САУ с передаточной функцией W(p) = К / [(Т₂∙р)² + Т₁∙р]:

L[h(t)] = W(p)∙ = .

Разложим полученное изображение передаточной функции на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов по аналогии с ранее рассмотренными примерами:

L[h(t)] = = .

Найдем значения коэффициентов А, В и С:

.

Находим оригиналы элементарных функций:

L^-1(1/p) = 1; L^-1(1/p²) = t; L^-1[(T₁ / T₂²) / (p + T₁ / T₂²)] = [(T₁ / T₂²)∙ .

Используя полученные выражения, находим оригинал искомой передаточной функции:

h(t) = + + ∙ = .

Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.

К частотным характеристикам относятся:

АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;

ФЧХ – фазовая частотная характеристика;

ЛАЧХ – логарифмическая АЧХ;

ЛФЧХ – логарифмическая ФЧХ.

АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W(jω), которая получается путем замены в передаточной функции W(p) оператора Лапласа p на комплексную переменную jω. АФЧХ W(jω) можно представить в виде вектора на комплексной плоскости с координатами [M(ω), N(ω)] или в полярных координатах Н(ω) и φ(ω), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ:

W(jω) = N(ω) + jM(ω) = Н(ω)∙е^jφ(ω). (1)

Здесь: Н(ω) – АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора W(jω) от круговой частоты ω;

φ(ω) – ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора W(jω) от круговой частоты ω;

N(ω) = Н(ω)∙cosφ(ω) – проекция вектора W(jω) на вещественную ось комплексной плоскости;

M(ω) = Н(ω)∙sinφ(ω) – проекция вектора W(jω) на мнимую ось комплексной плоскости;

При изменении частоты ω от нуля до бесконечности конец вектора W(jω) вычерчивает кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом АФЧХ.

Определим в качестве примера частотную передаточную функцию для САУ с передаточной функцией в операторной форме W(p) = К / [(Т₂∙р)² + Т₁∙р], которую для удобства дальнейших преобразований представим в виде:

W(p) = К / [(Т₂∙р)² + Т₁∙р] = К₁ / [(T∙p + 1)∙p],

где К₁ = К / Т₁; Т = (Т₂)² / Т₁.

Произведя замену оператора Лапласа р на комплексную переменную jω, получим:

W(jω) = К₁ / [(jωT + 1)∙jω] = =

= . (2)

Из выражения (2) получаем формулы для нахождения модуля Н(ω) и аргумента φ(ω) вектора АФЧХ, а также его проекций на вещественную N(ω) и мнимую М(ω) оси:

Н(ω) = ; φ(ω) = - [90^o + arctg(ω∙T)];

N(ω) = ; М(ω) = . (3)

Фазовую частотную характеристику φ(ω) можно найти также из следующего соотношения: φ(ω) = arctg[М(ω) / N(ω)] = -[180^o - arctg(1/ω∙T )].

Задание к лабораторной работе № 1

1. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти аналитические выражения для весовой g(t) и переходной h(t) функций САУ, состоящей из двух последовательно соединенных элементарных динамических звеньев: апериодического и идеального интегрирующего звена.

2. Построить при помощи компьютерной программы MATLAB и вывести на печать графики найденных при выполнении п. 1 задания временных зависимостей g(t) и h(t).

3. Вывести аналитические выражения для частотных характеристик САУ по пункту 1: АФЧХ, АЧХ и ФЧХ.

4. Задаваясь характерными точками на оси частот построить примерные графики полученных при выполнении п. 3 задания частотных зависимостей.

5. При вычислениях следует использовать варианты параметров динамических звеньев, заданные табл. 1, в соответствии с последней цифрой шифра студента.

Примечание: тип 1 соответствует апериодическому звену;

тип 2 соответствует идеальному интегрирующему звену.

6. По результатам выполнения задания необходимо оформить отчет.

Таблица 1

Тип звена	Параметры звена	Номер варианта
	К1						0,5	0,2	0,1	0,4
Т1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,05
	К2	0,8	0,4	0,5		0,5

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1

1. Перед выполнением работы ознакомиться с основными определениями и формулами из раздела «Теоретическая часть».

2. Ознакомиться с заданием к лабораторной работе и выполнить п. 1 задания, принимая во внимание, что при последовательном соединении звеньев передаточная функция САУ равна произведению их передаточных функций:

, где К = К₁∙К₂, Т = Т₁.

3. Перед выполнением пункта 2 задания ознакомиться в Приложении с краткими сведениями по использованию базовой программы MATLAB, после чего запустить программу MATLAB и выполнить следующую последовательность действий:

1) задать в окне команд описание передаточной функции САУ W(p) с помощью функции tf (transfer function), параметрами которой являются вектора численных значений коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции. Например, описание передаточной функции W(p) = 10 / (2∙p² + 0,5∙p) будет выглядеть следующим образом: >> sys = tf ([10], [2 0.5 0]).

При нажатии клавиши Enter на экране монитора в окне команд высветится заданная передаточная функция в виде

,

где s – обозначение оператора Лапласа, принятое в МАТЛАБ.

Временную характеристику САУ g(t) строим с помощью функции impulse:

>> impulse (sys); grid,

где grid – признак отображения сетки графика.

При нажатии клавиши Enter на экране монитора в отдельном окне высветится график искомой весовой функции g(t) в виде, представленном на рис. 1.

Рис. 1 График весовой функции g(t) системы САУ,

описываемой передаточной функцией

Скопировать с экрана график g(t), предварительно свернув все остальные открытые окна, и сохранить его как документ Word в папке «Мои документы» под произвольным именем.

Временная характеристика h(t) САУ строится с помощью функции step:

>> step(sys); grid.

После нажатия клавиши Enter на экране монитора в отдельном окне высветится график искомой переходной функции h(t) в виде, представленном на рис. 2.

Рис. 2 График переходной функции h(t) системы САУ,

описываемой передаточной функцией

Аналогичным образом скопировать с экрана график h(t), предварительно свернув все остальные открытые окна, и вставить его в свой документ Word.

4. Прежде, чем перейти к выполнению пункта 3 задания, необходимо также скопировать с экрана данные окна команд и вставить их в свой документ Word, а затем закрыть программу МАТЛАБ.

5. Выполнить пункты 3 и 4 задания, используя материалы раздела «Теоретическая часть».

6. Оформить отчет, который должен содержать:

- название и цель работы;

- основные определения и расчетные формулы;

- графики зависимостей g(t) и h(t) с отмеченными на них тремя значениями, рассчитанными предварительно по полученным формулам для значений времени t = T₁, 2T₁ и 3T₁;

- примерные графики частотных зависимостей с отмеченными на них двумя значениям, рассчитанными предварительно по полученным формулам для значений круговой частоты ω = 0 и 1 / Т₁;

- выводы.

Лабораторная работа № 2