Пример применения численного интегрирования

Вычислим, например, интеграл Пример применения численного интегрирования - student2.ru по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f(4)(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)= Пример применения численного интегрирования - student2.ru , получаем

f(4)(x)=4 Пример применения численного интегрирования - student2.ru (4х4-12х2+3)

Так как на отрезке [0, 1] Пример применения численного интегрирования - student2.ru £1, ½4х4-12х2+3½£5, то Пример применения численного интегрирования - student2.ru . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n4<1/1000( Пример применения численного интегрирования - student2.ru ), откуда n4 >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)= Пример применения численного интегрирования - student2.ru в этих точках у0=1,0000, у1=0,9394, у2=0,7788, у3=0,5698, у4=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Пример применения численного интегрирования - student2.ru Таким образом, Пример применения численного интегрирования - student2.ru с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

  Название метода Формула Порядок метода Априорная погрешность вычислений Апостериорная погрешность вычислений
Левых прямоугольников (рис.1) Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru     Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Правых прямоугольников (рис.2) Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Средних прямоугольников   Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Трапеций (рис.3) Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Симпсона (рис.4) Пример применения численного интегрирования - student2.ru   Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru Пример применения численного интегрирования - student2.ru

Программная реализация в MatLab.

Вычисление определенного интеграла с помощью встроенной функции.

>> syms x

>> I = double(int((x^2-6.5)/(x^3+sin(7.8*x)),3.6,5.4))

>>

I =

0.26649340577279

Программный блок, реализующий приближенное вычисление определенного интеграла.

function res = f(x);

res = (x^2+1.8)/(x^3+7.9);

end

----------------------

function res = Integral(str, a , b, n);

%str - methods name, a,b - distance, n - number of points

h = (b-a)/n;

Sum = 0;

switch (str)

case 'Simpson'

q1=0; q2=0;

for i = 1:n-1

if (mod(i,2)==1)

q1 = q1+f(a + i*h);

else q2 = q2+f(a + i*h);

end;

end;

Sum =(h/3)*( f(a) + 4*q1 + 2*q2 + f(b));

case 'Trapezium'

for i = 1:n-1

Sum = Sum + f(a + i*h);

end;

Sum = (h/2)*( f(a) + 2*Sum + f(b));

case 'LeftRectangles'

for i=1:n-1

Sum = Sum + h*f(a + i*h);

end;

Sum = h*f(a) + Sum;

case 'RightRectangles'

for i=1:n-1

Sum = Sum + h*f(a + i*h);

end;

Sum = h*f(b) + Sum;

case 'MediumRectangles'

for i=1:n

Sum = Sum + h*f(((a + (i-1)*h)+(a + i*h))/2);

end;

otherwise

error('This is impossible value')

end

res = Sum;

return

Программный блок вычисления апостериорных погрешностей вычислений.

function res = Priori_Error(str,a,b,n);

switch (str)

case 'Simpson'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/15;

case 'Trapezium'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/3;

case 'LeftRectangles'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n));

case 'RightRectangles'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n));

case 'MediumRectangles'

R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/3;

otherwise

error('This is impossible value')

end;

res = R;

return

Результаты вычислений

>> format long

>> IS = Integral('Simpson',3.6,5.4,12)

IS =

0.26649801994399

>> IT = Integral('Trapezium',3.6,5.4,12)

IT =

0.26635817701576

>> ILR = Integral('LeftRectangles',3.6,5.4,12)

ILR =

0.26584089261870

>> IRR = Integral('RightRectangles',3.6,5.4,12)

IRR =

0.26687546141281

>> IMR = Integral('MediumRectangles',3.6,5.4,12)

IMR =

0.26656137337914

>> Priori_ErrorIS = Priori_Error('Simpson',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIS =

1.040388407134533e-005

>> Priori_ErrorIT = Priori_Error('Trapezium',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIT =

1.398429282359707e-004

>> Priori_ErrorILR = Priori_Error('LeftRectangles',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorILR =

9.368131817630854e-004

>> Priori_ErrorIRR = Priori_Error('RightRectangles',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIRR =

9.775561234709462e-005

>> Priori_ErrorIMR = Priori_Error('MediumRectangles',3.6,5.4,12)

Priori_ErrorIMR =

7.211080710719149e-005

Приближенное вычисление определенных интегралов"
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Исходные данные:
;
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Промежуток интегрирования [a,b] :
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
1. Табулирование функции на заданном промежутке [a,b].
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru

Пример применения численного интегрирования - student2.ru

Пример применения численного интегрирования - student2.ru
2. Вычисление определенного интеграла с помощью стандартной функции.
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
3. Программный блок, реализующий вычисление приближенного значения определенного интеграла. 1. Формула Симпсона. 2. Формула трапеций. 3. Формула средних прямоугольников. 4. Формула правых прямоугольников. 5. Формула левых прямоугольников.
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Результаты вычислений для шага h и 2h
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
4. Вычисление апостериорной погрешности приближенного вычисления определенного интеграла по формулам 1-5. Программный блок Пример применения численного интегрирования - student2.ru , где -g(u) - исходная функция; -x - вектор узловых точек; - Пример применения численного интегрирования - student2.ru - порядок метода; вычисляет значения Пример применения численного интегрирования - student2.ru -ой производной функции g(u) в узловых точках.
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
5. Априорные погрешности приближенного вычисления определенного интеграла по формулам 1-5. - g(x) - подынтегральная функция; - x - узловые точки; - k - порядок метода N;
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru
Пример применения численного интегрирования - student2.ru

Варианты заданий

Наши рекомендации